有些學者從微觀經濟理論的角度探索消費和投資的最優比率。例如，Ｐｈｅｌｐｓ構建了不確定收入下的最優消費率［２］。基于這一模型，Ｍｅｒｔｏｎ以布朗運動模擬不確定收益，利用動態規劃建模的方式，求出在連續時間假設下獲得最大消費效用的消費和資產投資組合［３］。然而Ｍｅｒｔｏｎ的模型采用了Ｐｒａｔｔ的絕對風險厭惡度（ａｂｓｏｌｕｔｅ　ｒｉｓｋ　ａｖｅｒｓｉｏｎ）［４］，即假設投資者的風險偏好是和年齡、財富無關的常數，從而把家庭總財富比率設計成常數。為了改進過于嚴格的常系數風險厭惡假設，Ｆａｒｈｉ和Ｐａｎ－ａｇｅａｓ假設投資者可以通過控制退休時間來調整勞動供給，從而實現最優消費和投資［５］。另外有些學者拓展了Ｍｅｒｔｏｎ等人的模型，如Ｈａｋａｎｓｓｏｎ和Ｒｉｃｈａｒｄ研究了存在保險時的生命周期最優消費［６］［７］；Ｋａｒａｔｚａｓ使用鞅方法研究了個人如何選擇消費率來實現消費和財富效用最大化［８］；Ｂｏｄｉｅ等人探討了退休期間的最優消費投資問題［９］。有些學者則從宏觀經濟學的角度闡述消費和投資對消費效用最大化的影響。李嘉圖的古典消費理論強調了消費對經濟的刺激。凱恩斯絕對收入假說認為消費主要取決于當期絕對收入，平均消費傾向（ＡＰＣ）隨收入增加而減少。按此假說，一戰后，美國人民收入增加，儲蓄應隨之增加。但是，Ｋｕｚｎｅｔｓ實證研究發現戰后儲蓄并未增加，長期ＡＰＣ穩定［１０］。為解析上述矛盾現象，Ｄｕｅｓｅｎｂｅｒｒｙ提出相對收入假說，家庭會比較其他家庭的收入，即相對水平，來決定自己的消費水平［１１］（Ｐ３）。相對收入假說的缺陷在于家庭的消費是短視行為，沒有考慮未來收入。為克服相對收入假說存在的問題，Ｆｒｉｅｄｍａｎ提出了家庭將根據終生收入來決定消費的持久收入假說［１２］（Ｐ２６－１３５）。內生增長理論被廣泛用于分析投資和消費的最優分配。該理論假設在生產過程中的規模收益不變，即凸性生產技術，經濟增長的決定因素是生產要素，生產率是由模型內生所決定的，而不是由資源、人口等外部因素決定。典型的內生增長模型有ＡＫ模型、Ｒｅｂｅｌｏ模型等［１３］。

曾經有人質疑ＡＫ模型是否可以用來評估經濟增長。Ｊｏｎｅｓ建立了技術為常數的ＡＫ模型，對函數關于物質資本和人力資本求最大值，并基于１９５０～１９８８年加拿大、法國、德國等１５個ＯＥＣＤ國家的時間序列數據，研究發現戰后投資額同經濟增長無關，并由此推斷ＡＫ模型對投資和經濟增長關系的預測是短期的或不正確的［１４］。為了反駁ＡＫ模型不適用于研究經濟增長的結論，ＭｃＧｒａｔｔａｎ建立了技術為常數的ＡＫ模型，對函數關于消費和資本求最大值。ＭｃＧｒａｔｔａｎ用１８７０～１９８９年１１個國家的數據驗證了投資率和經濟增長之間的正相關關系，證明政府投資誘導政策會永久性影響經濟增長［１５］。ＭｃＧｒａｔ－ｔａｎ發現Ｊｏｎｅｓ之所以用ＡＫ模型測不出投資和經濟增長的相關性，一是數據期限短，二是模型設計存在缺陷。ＭｃＧｒａｔｔａｎ的模型假設如下：（１）代表性家庭選擇投資和消費，從而實現生命周期效用最大化；（２）家庭有兩種資本，分別是結構資本和設備資本，家庭收入來源于把結構資本和設備資本租給公司的租金；（３）家庭收入要向政府繳納稅收，因此政府政策可以影響投資產出比和勞動閑暇選擇。這樣一來，ＭｃＧｒａｔｔａｎ就解釋了Ｊｏｎｅｓ觀察到的投資增加而產出穩定的短期離差，并從理論和實證角度驗證了ＡＫ模型的有效性。本文在持久收入假設和內生增長理論框架下，研究經濟增長的最優消費投資比率，從理論上指導國民收入的合理分配。之所以選擇資本產出彈性為單位彈性的ＡＫ模型，是因為資本對發展中國家很重要。發展中國家可以通過購買技術先進的國家的設備得到知識，這種由投資帶來的技術溢出可以加速整個國家的現代化。另外，由于行業間存在溢出效應，當資本提高某個行業的生產率時，與之相關行業的生產率也隨之提高［１６］，所以不僅要考慮資本對單個行業的作用，還需要考慮資本的社會回報。Ｌｊｕｎｇｑｖｉｓｔ和Ｓａｒｇｅｎｔ建立的ＡＫ模型與本文有類似的目標函數ｙｔ＝Ａｋαｔ，也猜測了相同的值函數形式，并得到了類似的策略函數［１７］，但本文與之不同的是：第一，他們假設資本產出彈性大于零而小于１（０＜α＜１），從而使資本邊際效用遞減，通過數學推導發現資本收斂，而本文假設資本產出彈性等于１（α＝１），從而使資本沒有邊際效用遞減，通過數學推導發現資本不收斂，而值函數收斂；第二，本文考慮了資本折舊；第三，本文通過真實數據，再現改革開放以來消費和投資對提高社會效用的貢獻。本文余下部分的結構安排如下：第二部分建立包含資本折舊率和貼現因子的最優消費模型，通過猜解求出策略函數，討論了消費、資本積累序列的意義，并通過求導分析了各變量對值函數的影響；第三部分比較了不同貼現因子下的值函數，并用三維效果圖展示了１９７８～２０１０年中國消費、資本和值函數的演變關系；最后是本文的結論。

模型

本文考慮生產單一商品的經濟，此商品既可消費又可投資，投資以資本的形式體現，消費品和資本品可以相互轉換。消費數量和消費投資比決定代表性行為人的效用，社會計劃者的目標是通過政策引導消費路徑，使代表性行為人在任意時期都能獲得最大效用。經濟增長由資本驅動，因此設生產函數為ｙｔ＝Ａｋｔ，其中Ａ反映技術水平，ｙｔ、ｋｔ和ｃｔ分別表示在時期ｔ的生產量、資本存量和消費。對于任意ｔ期，有ｃｔ≥０，ｋｔ≥０；且初始資本ｋ０已知。由此，可得模型：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎ　ｃ（ｔ）ｓ．ｔ．ｋｔ＋１＝ｙｔ＋１－（δ）ｋｔ－ｃｔ，　　ｙｔ＝Ａｋ???睿簦ǎ保┢渲?delta;為資本折舊率，０≤δ≤１；β為貼現因子，０＜β＜１；βｔｌｎ　ｃ（ｔ）是消費效用。式（１）是終生消費效用，資本積累規則為下期資本的數量取決于本期的有效商品總供給和本期的消費。令ｆ　ｋ（ｔ）＝Ａｋｔ＋１－（δ）ｋｔ＝（Ａ＋１－δ）ｋｔ表示包含資本折舊的有效商品總供給，則式（１）可轉化為：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎ　ｃ（ｔ）ｓ．ｔ．ｋｔ＋１＝ｆ　（ｋｔ）－ｃｔ，ｆ　（ｋｔ）＝（Ａ＋１－δ）ｋ???睿簦ǎ玻┦劍ǎ玻┠勘旰??暮?迨譴?硇孕形?俗非笠簧??訓奶?中в米畬蠡??渲邢?眩悖羰強刂票淞浚?時荊耄粑?刺?淞俊Ｓ稍際?跫?耄簦?保劍妗。ǎ耄簦??悖簦?傻茫悖簦劍妗。ǎ耄簦??耄簦?保?純刂票淞靠殺硎疚?刺?淞康暮??Ｇ笫劍ǎ玻┑淖鈑漚猓?褪竊詬?ㄔ際?跫?攏?業揭桓鑾〉鋇男蛄校悖簦?耄?簦?保?ｔ＝０，使目標函數∑!ｔ＝０βｔｌｎ　（ｃｔ）取得最大值。（一）猜解求值函數和策略函數為方便求極值，將式（２）由離散形式轉化為連續形式，并定義值函數（）Ｖ　ｋ為投資者在給定財富下所能達到的期望終生總效用。在競爭性均衡中投資者的效用得到了最大化，則根據漢密爾頓－雅可比－貝爾曼方程（Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ－Ｂｅｌｌｍａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ＨＪＢＥ）可得：（）Ｖ　ｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎ　［ｆ　ｋ－ｋ］＇＋β｛Ｖ　（ｋ）｝＇（）＝ｌｎ　［ｆ　ｋ－ｇ（ｋ）］＋βＶ　［ｇ（ｋ）］（３）式（３）中，ｋ是當前時期的資本存量（相當于ｋｔ），ｋ＇是下一時期的資本存量（相當于ｋｔ＋１）。ｇ（ｋ）是利用ＨＪＢＥ進行遞歸迭代的策略函數，且ｇ（ｋ）＝ｋ＇，表示計劃者面臨的決策為：究竟是應該用政策引導代表性行為人當期多消費一些，還是當期少消費，留作下一期的資本，從而使下一期能消費更多。（）Ｖ　ｋ和ｇ（ｋ）都是連續可微的。根據動態規劃理論，可猜測值函數的形式為：（）（）Ｖ　ｋ＝Ｅ＋Ｆｌｎ　ｋ（４）其中，Ｅ、Ｆ是待定常數。對式（３）和（４）計算一階最優的必要條件，并根據式（２）可得：ｇ（ｋ）＝ｋ＇＝βＦ　Ａ＋１－（δ）ｋ１＋βＦ（５）（）ｃ＝ｆ　ｋ－ｋ＇＝Ａ＋１－（δ）ｋ１＋βＦ（６）式（５）是策略函數ｇ（ｋ）關于ｋ的顯式解，Ｆ是待定系數。（二）最優消費、資本累積序列令ｎ＝１，式（３）變成式（７）。由式（２）可知當ｔ＝１時，以下兩式成立：Ｖ１（）ｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎ　ｆ　ｋ－ｋ［］＇（７）Ｖ１（）ｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎ　ｆ　ｋ－ｋ［］＇＋βＶ０ｋ（）＇（８）式（７）是目標函數（２）的最大值，即社會計劃者最優問題中的值函數；式（８）表示代表性行為人一生的效用貼現值等于當期效用、未來效用的貼現值之和。當期消費和期末資本的選擇ｃ，ｋ｛｝＇產生了當期效用ｌｎ（ｃ），下期的資本ｋ＇將按照策略函數ｇ（ｋ）來選擇。此處可獲得的最大期望效用是Ｖ　ｋ（）＇，而ｋ＇的貼現值為βＶ０ｋ（）＇。類似的，利用式（５）、式（３）逐期遞歸迭代可得到值函數Ｖｎ（）ｋ序列。對任意ｔ期，有：Ｖｎ（）ｋ＝∑ｎ－１ｉ＝１（β）ｉ－１　ｌｎＡ＋１－δ１＋β（）Ｆ＋βｎ－１ｌｎ　（Ａ＋１－δ）＋　　　　∑ｎ－１ｊ＝１ｊ（β）ｊ　ｌｎβＦ　Ａ＋１－（δ）１＋β［］Ｆ＋∑ｎｓ＝１（β）ｓ－１（）ｌｎ　ｋ由于０＜β＜１，根據級數理論容易證明：當ｎ→!時，Ｖｎ（）ｋ是收斂的，且其極限值（）Ｖ　ｋ＝ｌｉｍｎ→!Ｖｎ（）ｋ就是無窮序列的唯一解。也就是說，得到的函數方程與式（４）的猜測完全符合。可以解出Ｅ＝１１－βｌｎ　（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］，Ｆ＝１１－β。將Ｅ和Ｆ代入式（４）可得到函數方程（３）的具體表達式和相應的策略函數：（）Ｖ　ｋ＝１１－βｌｎ　（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］＋１１－β（）ｌｎ　ｋ（９）ｇ（ｋ）＝βＡ＋１－（δ）ｋ（１０）式（９）也就是式（１）的解。對于任意給定的ｋ０＞０，值函數（）Ｖ　ｋ采用策略ｋ＇＝ｇ（ｋ）＝βＡ＋１－（δ）ｋ恒可取得最優值。回到式（１）的離散形式，對任意時期ｔ（ｔ≥０），當資本存量按策略ｋｔ＋１＝βＡ＋１－（δ）ｋｔ逐步演變時，式（１）必定取得最優解。相應地，ｃｔ＝１－（β）Ａ＋１－（δ）ｋｔ。綜上所述，可得式（１）的最優消費、資本累積序列ｃｔ，ｋ｛ｔ＋１｝!ｔ＝０為：ｃｔ＝１－（β）Ａ＋１－（δ）ｋｔｋｔ＋１＝βＡ＋１－（δ）ｋ???睿簦ǎ保保┐郵劍ǎ保保┛梢鑰闖觶鶴時菊劬陜?delta;和當期消費ｃｔ以及下期資本ｋｔ＋１負相關。資本折舊率反映了資本的使用成本，折舊率越大，資本越少，收入越少，可供消費也越少。對資本的良好維護，可以降低資本折舊率。宏觀政策能改變折舊率，比如政府推出投資刺激政策，會使維護既有資本的成本高于重新投資，從而提高資本折舊率；再如，高利率增加貸款成本，導致生產者更傾向于用廉價原材料，產品耐用度降低，資本折舊率提高。貼現因子β和當期消費ｃｔ負相關，和下期資本ｋｔ＋１正相關。貼現因子反映了資產預期總收入超出當期總收入的部分折現到當期末的值。貼現因子越小，代表性行為人越傾向于當期消費ｃｔ；貼現因子越大，代表性行為人越希望把消費推遲到將來。貼現因子是隨機的、主觀的，受真實的經濟發展變化的影響，可以通過宏觀經濟政策引導貼現因子變化。比如福利保障制度可以提高當期消費者的信心，而提高利率會導致人們推遲當期消費。α＝１時，ＡＫ模型ｙ＝Ａｋαｔ的資本增長率ｋｔ＋１ｋｔ＝βＡ＋１－（δ）更大，而且資本不收斂。０＜α＜１時［１　７］，ＡＫ模型ｙ＝Ａｋαｔ的資本增長率ｋｔ＋１ｋｔ＝αβＡｋα－１ｔ更小，而且資本收斂。另外，根據方程（１）最優解的一階必要條件可以斷定，當且僅當ｃｔ＋ｋｔ＋１＝Ｄｋγｔ（Ｄ為常數，γ是大于零的任意實數）的形式時，即ｃｔ＋ｋｔ＋１必須與ｋγｔ成正比關系，ＡＫ模型才可能求出顯式的最優解。其他學者在研究包含資本折舊的ＡＫ模型時，要么生產函數是線性的（即ｙ＝Ａｋ），而資本折舊是非線性的；要么生產函數是指數形式的（即ｙ＝Ａｋα），但資本折舊是線性的；或者假設勞動是彈性供應的（即ｙ＝Ａｋαｎ１－α）。諸如此類模型，它們所對應的消費、資本累積之和ｃｔ＋ｋｔ＋１必定不能表示為ｋγｔ（其中γ＞０）的正相關函數，因此無論采用序列推導法或貝爾曼動態規劃的解法或其他方法，都不可能得到最優解的顯式解析表達式，他們一般采用數值解法求解最優的消費和資本積累路徑。（三）變量對值函數的影響前文定義值函數（）Ｖ　ｋ為投資者在給定財富下，所能達到的終身期望總效用，以下討論貼現因子β、資本折舊率δ、消費ｃ、資本存量ｋ對值函數（）Ｖ　ｋ的影響。為方便討論參數β、δ、ｋ的意義，將Ｖ（ｋ）記為Ｖ（β，δ，ｋ），即：Ｖβ，δ，（）ｋ＝１１－βｌｎ　（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］＋１１－β（）ｌｎ　ｋ（１２）由式（１２）可以發現：１．可以證明?Ｖβ，δ，（）ｋ?β＞０對于β０≤β（≤１）恒成立，所以Ｖβ，δ，（）ｋ是β的單調增函數，即值函數（）Ｖ　ｋ隨著貼現因子β的增大而增大。而由式（１）也易知，貼現因子β越大，消費的效用就越大。２．由?Ｖβ，δ，（）ｋ?δ＜０可知，值函數Ｖβ，δ，（）ｋ隨著資本折舊率δ的增加而減小，也就是說，資本折舊率越高，消費總效用就越小。關于宏觀經濟政策對資本折舊率和貼現率的影響，可參考公式（１１）對最優消費、資本累積序列的分析。３．由?Ｖβ，δ，（）ｋ?ｋ＞０可知，值函數Ｖβ，δ，（）ｋ隨著資本存量ｋ的增加而增加。資本存量ｋ越大，可用于生產的投資就越多，從而可供未來消費的也就越多（即消費ｃ越大），因此終生消費的總效用值就越大。另外，根據式（１）的假設，消費越大，消費效用也就越大，但是由于所有的生產恰好被消費與投資全部劃分，即ｃｔ＋ｋｔ＋１＝ｃｏｎｓｔ是常數，若ｔ期的消費占收入比率過大，則可用于下期的資本就少，下期消費也減少，所以應該合理地安排消費－投資比率。政府可以用貼現因子、折舊率和技術進步率等政策引導消費－投資比率。