基于R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的動態(tài)J-A 磁滯模型及其特征參數(shù)辨識算法

　　摘要：在高頻、直流偏磁等非標(biāo)準(zhǔn)磁化條件下，電力變壓器的鐵心損耗顯著增加，造成其性能惡化。為了實現(xiàn)對高頻、直流偏磁下鐵磁材料動態(tài)磁滯特性與損耗的準(zhǔn)確模擬，本文首先在靜態(tài) J-A 模型中引入直流磁密，推導(dǎo)得到適用于描述直流偏磁條件下鐵磁材料磁滯特性的靜態(tài) J-A 修正模型;然后引入 R-L 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對高頻條件下渦流場及渦流損耗表達(dá)式進(jìn)行改進(jìn)，考慮渦流與剩余損耗對高頻條件下磁化物理機制的影響，建立動態(tài) J-A 模型;最后引入模擬退火算法，以損耗計算值與實測值之間的均方根誤差最小化作為優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)，辨識模型中阻尼系數(shù)與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次的全局最優(yōu)值。將動態(tài) J-A 模型模擬的磁滯回線和損耗與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果表明：對高頻磁場疊加直流偏磁條件下磁滯回線面積模擬誤差為 7.84%，損耗預(yù)測的平均絕對誤差為 7.35%，驗證了本文所提方法的準(zhǔn)確性。

　　關(guān)鍵詞：鐵磁材料;直流偏磁;高頻磁化;動態(tài) J-A 磁滯模型;分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

　　陳彬; 秦小彬; 唐波; 劉任; 張建功; 萬妮娜， 中國電機工程學(xué)報 發(fā)表時間：2021-10-29

　　0 引言

　　隨著大量非線性負(fù)荷接入電網(wǎng)，電力變壓器更加頻繁地工作在高頻、直流偏磁等工況下[1-2]。電工鋼等鐵磁材料被廣泛應(yīng)用于電力變壓器鐵心。在直流偏磁條件下，鐵磁材料呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性、非對稱磁滯特性，并且隨著頻率的增加，其損耗增大，導(dǎo)致電力變壓器散熱性能、效率降低，甚至發(fā)生損壞[3-4]。因此，精確模擬高頻、直流偏磁條件下鐵磁材料的磁滯效應(yīng)和損耗特性，對于電力變壓器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計具有重要意義[5]。

　　目前，國內(nèi)外學(xué)者針對直流偏磁下鐵磁材料的磁滯效應(yīng)和損耗特性開展了大量研究工作。文獻(xiàn)[6] 通過對鐵氧體在直流偏磁條件下的損耗進(jìn)行分析，將 Steinmetz 公式中的經(jīng)驗系數(shù)修正為關(guān)于直流磁通與交流磁通的函數(shù)，實現(xiàn)了直流偏磁下?lián)p耗計算。張艷麗等人在 Steinmetz 公式中引入可變系數(shù)，通過該系數(shù)來描述直流偏磁對損耗的影響，進(jìn)而預(yù)測直流偏磁條件下的損耗[7]。上述研究均為經(jīng)驗公式法在直流偏磁條件下鐵心損耗預(yù)測中的具體應(yīng)用，此類模型本質(zhì)上屬于現(xiàn)象學(xué)模型，經(jīng)驗系數(shù)的獲取依賴于對大量實驗數(shù)據(jù)的擬合，模型本身無法描述鐵磁材料的磁滯效應(yīng)。

　　基于物理現(xiàn)象的磁滯模型法可以將材料微觀物理量和外界磁場激勵下的宏觀磁化現(xiàn)象關(guān)聯(lián)起來，得到宏觀場量的控制方程。當(dāng)前應(yīng)用較為廣泛的磁滯模型包括 Preisach 模型、Energetic 模型、 Jiles-Atherton(J-A)模型等。文獻(xiàn)[8]基于 Preisach 模型，以及取向硅鋼片靜態(tài)直流偏磁極限磁滯回線實測數(shù)據(jù)，采用數(shù)值方法生成具有非對稱特性的一階回轉(zhuǎn)曲線，考慮直流偏磁磁場和交流磁通密度對剩余損耗的影響，構(gòu)建直流偏磁條件下動態(tài) Preisach 模型，實現(xiàn)了直流偏磁下硅鋼片損耗特性模擬。但是，Preisach 模型忽略了鐵磁材料微觀物理規(guī)律，而且模型參數(shù)的識別較復(fù)雜且計算耗時。文獻(xiàn) [9-10]基于損耗統(tǒng)計理論與場分離理論，將渦流損耗和剩余損耗與靜態(tài) Energetic 磁滯模型相結(jié)合得到以磁通密度 B 為輸入，磁場強度 H 為輸出的動態(tài) Energetic 模型，用于描述不同交流頻率、直流偏磁條件下鐵磁材料的磁滯回線與鐵心損耗。然而上述研究并未考慮直流分量對磁化過程的影響，進(jìn)而從磁化物理基礎(chǔ)出發(fā)推導(dǎo)獲得直流偏磁條件下 Energetic 磁滯修正模型。基于未修正 Energetic 磁滯模型模擬動態(tài)直流偏磁磁滯特性方法的普遍適用性還需要通過大量研究及實驗得到驗證。清華大學(xué)曹林等從經(jīng)典 J-A 磁滯理論出發(fā)，以能量平衡原理為依據(jù)，考慮了鐵心的渦流損耗和剩余損耗，研究了直流偏磁條件下電力變壓器鐵心的動態(tài)磁滯特性[11]。

　　近年來，有學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用于動態(tài)磁滯建模，比如 2017 年 B. Ducharne 等人將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入鐵磁材料的渦流場計算中，實現(xiàn)了鐵磁材料在高頻條件下動態(tài)磁滯回線的精確模擬[12]; 2018 年 B. Zhan 等人分別將 J-A 磁滯模型、Preisach 模型與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合，用于鐵磁材料的動態(tài)磁滯回線模擬與損耗計算[13-14];2020 年 R. Liu 等人基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)實現(xiàn)對損耗分離理論框架下渦流損耗項的改進(jìn)，并與靜態(tài) Energetic 模型結(jié)合實現(xiàn)了對硅鋼材料高頻損耗的精確預(yù)測[15]。然而，上述分?jǐn)?shù)階微積分理論的應(yīng)用僅局限于正弦激勵下鐵磁材料的磁滯模型的修正，其在直流偏磁工況下的有效性還有待商榷;此外，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)辨識方法(階數(shù) n 與阻尼系數(shù) ρ)是根據(jù)低頻和高頻條件下的磁滯回線數(shù)據(jù)通過試湊得到，得到的參數(shù)值并不能保證為全局最優(yōu)值。

　　針對上述存在問題，本文在靜態(tài) J-A 模型基礎(chǔ)上，引入直流磁密分量，推導(dǎo)得到直流偏磁下靜態(tài) J-A 磁滯修正模型。進(jìn)一步通過引入 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)實現(xiàn)對傳統(tǒng)渦流場與渦流損耗表達(dá)式的改進(jìn)。基于損耗分離理論并結(jié)合靜態(tài) J-A 磁滯修正模型與改進(jìn)渦流場、渦流損耗表達(dá)式，建立了直流偏磁和高頻條件下改進(jìn)動態(tài) J-A 模型與損耗計算表達(dá)式。搭建磁性能測試系統(tǒng)獲得不同頻率、直流偏磁下電工鋼磁特性與損耗特性數(shù)據(jù)，基于實測數(shù)據(jù)，并引入模擬退火算法實現(xiàn)對特征參數(shù)(分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù) n 與阻尼系數(shù) ρ)的辨識。最后通過與實驗數(shù)據(jù)及傳統(tǒng) J-A 模型建模方法的對比，驗證了本文所提模型的正確性。

　　1 傳統(tǒng) J-A 磁滯建模理論

　　1.1 靜態(tài) J-A 磁滯模型

　　靜態(tài) J-A 磁滯模型以磁疇理論為基礎(chǔ)，通過考慮磁疇壁位移與取代以及能量平衡原理來描述磁化強度和磁場強度之間的關(guān)系[16]。鐵磁材料的無磁滯磁化特性可以由 Langevin 函數(shù)進(jìn)行表征：? ? an s e e M M H a a H ? ? ? ? coth ? ? (1) 式中：Man 為無磁滯磁化強度;Ms 為飽和磁化強度; a 為無磁滯磁化曲線形狀參數(shù);He為有效磁場強度，其表達(dá)式為： H H M e sat ? ?? (2) 式中：H 為外加磁場強度;?為磁疇內(nèi)部耦合平均場參數(shù);Msat 為靜態(tài)條件下磁化強度，可分解為可逆磁化強度 Mrev 與不可逆磁化強度 Mirr，即： M M M sat rev irr ? ? (3) 其中，Mrev 與磁化過程中磁疇壁彎曲相關(guān)，Mirr 與磁疇壁位移和取代相關(guān)，其關(guān)于有效場 He 的微分方程表示為： irr an irr e d ( ) d M M M M H k ???? (4) 式中： M ?為防止非物理解的出現(xiàn)而定義的方向系數(shù)，如式(5)所示;k 為牽制系數(shù);?為方向系數(shù)，當(dāng) d d 0 H t ?時，? ?1 ;反之，? ??1。

　　考慮到磁通密度相對于磁場強度變化較為緩慢，不易發(fā)生畸變，將 e 0 d d =1 ( 1)d d H B M B ? ? ? ?代入式(7)，推導(dǎo)以磁通密度 B 為輸入量，磁場強度為 H 為輸出的逆靜態(tài) J-A 磁滯模型的磁化強度微分方程[17]： M sat an 0 M an sat e d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d an an sat e M M M ck M H B M M M ck k H ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? (8)

　　1.2 動態(tài) J-A 磁滯模型

　　根據(jù)損耗分離理論，鐵磁材料的總損耗 W 可分解為磁滯損耗Whys、渦流損耗Wed與剩余損耗Wex [18]： W W W W ? ? ? hys ed ex (9) 低頻條件下，集膚效應(yīng)可忽略，沿疊片厚度方向的磁場強度均勻分布，此時渦流損耗的表達(dá)式為： 2 2 ed 0 d ( ) d 12 d d B T W t t ?? ? (10) 式中：?為磁性材料電導(dǎo)率;d 為疊片厚度;T 為磁化周期;B 為磁通密度。

　　根據(jù)磁疇結(jié)構(gòu)的隨機統(tǒng)計分布特性，得到剩余損耗的表達(dá)式為： 1.5 ex 0 0 d d d T B W GSV t t ? ? ? (11)式中：S 為疊片橫截面積;G 為無量綱常數(shù)， G=0.1375;V0 為損耗統(tǒng)計參數(shù)。基于場分離技術(shù)，總損耗可以進(jìn)一步表示為： hys ed ex 0 0 0 hys ed ex 0 ( )d d d ( ( ) ( ) )d T T T T W H B B W W H B H B H B ? ? ?? ? ?? ? ?? (12) 式中：Hhys 為磁滯損耗對應(yīng)磁場分量，可以由靜態(tài) J-A 模型得到;Hed 和 Hex分別為與頻率相關(guān)的渦流場與剩余損耗場，表達(dá)式為： 2 ed d 12 d d B H t ?? (13) 0.5 ex 0 d d B H GSV t ? ? ? (14) 式中：?為符號函數(shù)，當(dāng) d d 0 B t ?時，? ?1 ;當(dāng) dB dt ? 0 時，? ??1。將渦流場 Hed 與剩余損耗場 Hex 的表達(dá)式代入靜態(tài) J-A 模型有效場 He的表達(dá)式(2)[19]： dyn e ed ex H H H H ? ? ? ( ) (15) 式中：Hdyn 為含動態(tài)場的有效磁場。進(jìn)一步得到動態(tài)磁化微分表達(dá)式： dyn M an_dyn dyn dyn dyn dyn 0 M an_dyn dyn dyn d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d M M M ck M H B M M M ck k H ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? (16) 式中：Man_dyn為含動態(tài)有效磁場 Hdyn 的無磁化曲線表達(dá)式;Mdyn 為含動態(tài)有效磁場 Hdyn 的動態(tài)磁化強度。

　　2 高頻疊加直流偏磁條件下 J-A 磁滯模型

　　2.1 直流偏磁下靜態(tài) J-A 模型修正

　　在直流偏磁工況下，鐵磁材料受到直流磁密與交流磁密共同作用，產(chǎn)生的實際總磁密 Bs 如式(17) 所示。當(dāng)交流磁密 Bac與直流磁密 Bdc同向疊加時，鐵磁材料磁場迅速進(jìn)入半周正向飽和;當(dāng)二者反向，直流磁密降低磁場反向飽和值，導(dǎo)致磁滯回線呈現(xiàn)正負(fù)半周不對稱狀態(tài)，如圖 1 所示。

　　由于直流磁密 Bdc 無法通過試驗測量系統(tǒng)直接獲取，本文提出基于無偏磁磁滯回線族與插值法快速提取直流磁通密度的方法。即：

　　1)將實驗易于測量的無偏磁磁滯回線族作為已知數(shù)據(jù)，連接各磁滯回線首尾兩點獲取主磁滯回線單值 B-H 曲線[5](上升支與下降支間的曲線);

　　2)將主磁滯回線單值 B-H 曲線正半周對應(yīng)曲線近似等效為偏磁條件下 Bt-HM曲線;

　　3)獲取任意直流偏磁量 Hb、交流磁通密度 Bac 的磁滯回線對應(yīng)最大磁場強度 HM，并導(dǎo)入單值 B-H 曲線，基于插值法獲取 HM對應(yīng)最大磁密 Bt [20];

　　4)根據(jù)公式(17)，提取任意偏磁條件下磁通密度 Bdc。

　　為了考慮直流偏磁對鐵磁材料磁化過程的影響，對靜態(tài) J-A 模型的能量平衡方程，以及 Langevin 方程(無磁滯磁化曲線)、有效磁場強度、磁通密度的公式進(jìn)行修正。

　　通過引入直流磁密 Bdc，推導(dǎo)出直流偏磁下磁化強度 Mbias 修正式為： bias s 0 dc ac 0 dc ac ( ) ( ) ( ) ( ) M t B t H B B t H M M t ? ? ? ? ? ? ?? ? (18) 式中：Mdc 為直流磁化強度分量;Mac 為交流磁化強度分量。直流偏磁下有效磁場 He_bias 修正式為： s e_bias bias 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) B t H t M t ??? ? ? (19) 將修正式(17)至式(19)代入靜態(tài) J-A 模型，得到直流偏磁下修正靜態(tài) J-A 模型系列公式為： s ac dc bias ac dc e_bias bias 0 e_bias ant_bias s e_bias 0 ant_bias e_bais 0 bais e_bias 0 irr ant_bias bias ant_bias bias ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) coth( ) d d d d ( ) d d d s M M M B t B t B M M t M B t H M t H a M M a H M H M H k M M M M ck M H B ??? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? e_bias ant_bias 0 bias ant_bias e_bias d (1 )( ( ) ) d M M M M ck k H ? ? ? 式中：Mant_bias 為直流偏磁下無磁化曲線表達(dá)式。

　　2.2 基于 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)改進(jìn)的動態(tài) J-A 模型修正??

　　傳統(tǒng)損耗分離理論的渦流損耗表達(dá)式中含有瞬時磁通密度對時間的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的局部極限定義不適用于描述非局部、頻率、歷史等依賴性過程，導(dǎo)致傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計理論對鐵磁材料的高頻渦流損耗預(yù)測誤差較大且存在過高估算的問題[15]。為了能夠考慮渦流損耗對頻率的依賴特性，引入 Riemann-Liouville(R-L)型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，實現(xiàn)對高頻渦流場及渦流損耗的解析建模和計算。 ? ? ?

　　R-L 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的具體形式如下[21]： 0 0 d ( ) 1 ( ) ( ) ( )d d (1 ) n t n n n t f t D f t t f t ? ? ???? ? ?? ? ? (21) 式中：n 為非整數(shù)階，該系數(shù)的取值范圍為 n ? (0,1) ;?() 為歐拉伽馬函數(shù)[21]。

　　R-L 型分?jǐn)?shù)階定義式為分?jǐn)?shù)階微分算子形式，可以考慮變量?從初始時刻 0 到當(dāng)前時刻 t 的整個過程的影響，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階的時間記憶性與全局相關(guān)性的特點。這些特點使得分?jǐn)?shù)階相對于整數(shù)階能夠更加精確的描述具有冪律性、非局部、頻率、路徑或歷史依賴特性的反常復(fù)雜物理現(xiàn)象[21]。此外， f t() 在 R-L 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換中的表達(dá)式為(jω) n ·f(ω)。由于 n 可以為任意非負(fù)實數(shù)，因而分?jǐn)?shù)階微分算子可以描述對任意階頻率的依賴性，這為保證整個頻率范圍內(nèi)渦流損耗計算精度提供了可能。

　　將傳統(tǒng)渦流場表達(dá)式與 R-L 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(21) 相結(jié)合，推導(dǎo)出改進(jìn)的渦流場 Hed_re 和改進(jìn)渦流損耗 Wed_re 表達(dá)式為： ed_re d ( ) d n ac n B t H t ? ? (22) ac ac ed_re 0 d ( ) d ( ) ( )( )d d d n T n B t B t W t t t ? ? ? (23) 式中：?為阻尼系數(shù)，與鐵磁材料厚度、磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率等物理參數(shù)相關(guān);n 為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)，與頻率-損耗曲線形狀有關(guān)[22]。綜合考慮鐵磁材料中磁導(dǎo)率的不確定性及磁滯損耗與剩余損耗的影響，阻尼系數(shù)?取值應(yīng)大于 2 ?d 12 ，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù) n 取值應(yīng)大于 0.5[15]。

　　當(dāng)交流磁密 Bac為正弦波形時，式(22)可進(jìn)一步表示為： ed_re ac cos( ) 2 n n H B t ?? ? ? ? ? (24) 將改進(jìn)渦流場公式(22)與傳統(tǒng)剩余場公式 (14)代入直流偏磁下靜態(tài) J-A 模型系列式(20)，按照 1.2節(jié)動態(tài) J-A磁滯模型構(gòu)建過程重新推導(dǎo)，可以得到高頻磁場疊加直流偏磁條件下改進(jìn)的動態(tài) J-A 模型系列公式： 0.5 ac dyn e_bias 0 dyn ant_dyn s dyn 0 ant_dyn dyn 0 t dyn 0 irr ant_dyn t ant_dyn t dyn ant_dyn 0 t ant_dyn dyn d ( ) d ( ) d d coth( ) d d d d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d n n M M M M B t B H H GSV t t H a M M a H M H M H k M M M M ck M H B M M M ck H (25) 式中：He_dyn 為直流偏磁下基于 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)改進(jìn)動態(tài)有效磁場;Mant_dyn 為含改進(jìn)有效磁場的無磁化曲線表達(dá)式;dMt/dB 為高頻磁場疊加直流偏磁條件下改進(jìn)磁化強度微分表達(dá)式。

　　綜上分析，直流偏磁下基于 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)改進(jìn)的動態(tài) J-A 模型建立流程如圖 2 所示。

　　2.3 特征參數(shù)辨識

　　基于 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)改進(jìn)的動態(tài) J-A 模型面臨的一個關(guān)鍵問題是特征參數(shù)，即阻尼系數(shù)?與導(dǎo)數(shù)階次 n 的確定。當(dāng)前沒有相關(guān)文獻(xiàn)對兩個關(guān)鍵參數(shù)提出具體的表達(dá)式。而文獻(xiàn)[14]提出了基于含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的動態(tài)磁滯模型模擬在正弦激勵下不同頻率的動態(tài)磁滯回線，并將一個磁密下所模擬的兩種頻率(低頻與高頻)的磁滯回線面積與矯頑力與實驗測量值做對比，確定參數(shù)?和 n 的取值。然而，這種方法所需數(shù)據(jù)量大且不能保證獲取的?和n的值為全局最優(yōu)。本文引入模擬退火算法實現(xiàn)精確、快速辨識?和 n 全局最優(yōu)值。為對優(yōu)化算法的求解精度進(jìn)行有效評價，本文引入對誤差極為敏感的均方根誤差作為算法的目標(biāo)函數(shù)(Rf)，進(jìn)而將分?jǐn)?shù)階參數(shù)?和n的最優(yōu)值辨識問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)最小值的優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)如式(26)所示： 2 t mea 1 f ( ( ) ( )) ( , ) N i W i W i R n N ????? (26) 式中：Wt 為基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)改進(jìn)動態(tài) J-A 模型計算的損耗值;Wmea為損耗實測值;N 為不同頻率損耗實測數(shù)據(jù)點個數(shù)。

　　模擬退火算法適用于求解不同的非線性復(fù)雜問題，不僅具有較強的魯棒性、收斂性、隱含并行性和廣泛的適應(yīng)性，并且不需要任何的輔助信息，對目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)沒有任何要求，能處理不同類型的優(yōu)化設(shè)計變量(離散、連續(xù)和混合型)。雖然該算法局部尋優(yōu)能力較差，但具有較強的全局搜索能力[23]。基于模擬退火算法的參數(shù)?和 n 辨識流程如圖 3 所示。

　　步驟如下：

　　1)算法基本參數(shù)設(shè)置：設(shè)置初始溫度 T0、降溫速率 v、結(jié)束溫度 Te以及 Metropolis 鏈長 L(每個溫度迭代次數(shù))。 2 ) 初 始 解 設(shè) 置 ： 設(shè) 置 特 征 參 數(shù) 初 始 值 0 b ? ? ( , ) n ，并設(shè)置當(dāng)前溫度下迭代次數(shù) k 為 0。 3)生成新解：對當(dāng)前解b0 實現(xiàn)一次隨機擾動，獲得一個可行新解b1，b1 與b0 滿足： 1 0 b b ? ? ? rand l (27) 式中：rand 為隨機數(shù)函數(shù)取值范圍為[-1,1];l 為計算步長。 4)Metropolis 準(zhǔn)則：將含特征參數(shù)的損耗計算表達(dá)式的損耗計算值與實測值的均方根誤差函數(shù)計為 f(Rf)，當(dāng)前解的函數(shù)值為 f(Rf(b0))，新解對應(yīng)函數(shù)值為 f(Rf(b1))。新解增量記為 df(Rf(b1)-Rf(b0))，根據(jù) Metropolis 準(zhǔn)則，若 df<0 接受b1 為當(dāng)前解，即 b0=b1;若 df>0 且 exp(-df/T)>rand，接受b1 為當(dāng)前解;否則當(dāng)前解保持不變。 5)降溫：迭代次數(shù)滿足：k=k+1，重復(fù)執(zhí)行 k=L 次步驟 3)和步驟 4)，得到一個溫度下 Metropolis過程的一個最優(yōu)解;利用降溫速率 q 降溫，根據(jù)降溫規(guī)則 T=qT，當(dāng) T

　　3 試驗驗證及結(jié)果分析

　　3.1 靜態(tài)條件下磁滯回線模擬結(jié)果

　　利用 BROCKHAUS-MPG200 電工鋼測試系統(tǒng)測取電工鋼樣品 27SQGD085 不同直流偏磁條件下(交流磁密 Bac 為 0.3~1.1T，測量步長為 0.1T;直流偏磁量 Hb 為 0~60A/m;頻率 f 為 5Hz、10~100Hz, 測量步長為 10Hz，150~1000Hz，測量步長為 50Hz)的磁滯回線及損耗數(shù)據(jù)[24]，樣品參數(shù)如表 1 所示。

　　根據(jù)本文 2.1 節(jié)所提方法，并利用磁滯回線測量值對直流磁密進(jìn)行辨識。表 2 為部分交流磁密與直流偏磁條件下(交流磁密 Bac為 0.5、0.7、0.9T;直流場強 Hb 為 10、30、50A/m)直流磁密辨識結(jié)果。

　　基于隨機優(yōu)化算法-模擬退火(SA)與確定性優(yōu)化算法(L-M)的混合算法[23][25]及表 2 所示直流磁密，對直流偏磁條件下靜態(tài) J-A 磁滯修正模型(公式(20))對應(yīng)參數(shù)進(jìn)行辨識。表 3 展示了 0.5T、0.7T 與0.9T不同直流分量下靜態(tài)J-A磁滯修正模型參數(shù)辨識結(jié)果。

　　根據(jù)所辨識參數(shù)，對偏磁條件下磁化頻率為 5Hz 的磁滯回線進(jìn)行模擬，仿真曲線與實測磁滯回線對比如圖 4 所示。將模擬得到的磁滯回線面積積分得到偏磁條件下磁滯損耗，并與實測損耗值對比，如表 4 所示。通過圖 4 可以看出，仿真磁滯回線與實測磁滯回線較為吻合，且偏磁條件下磁滯損耗損耗預(yù)模擬值與實測值的誤差絕對值最大為 4.11%，驗證了本文所提靜態(tài) J-A 修正模型可用于直流偏磁條件下電工鋼的靜態(tài)磁滯特性模擬及磁滯損耗計算。

　　3.2 剩余損耗統(tǒng)計參數(shù)和特征參數(shù)辨識結(jié)果

　　剩余損耗計算模型中的統(tǒng)計參數(shù) V0(表征磁體局部磁場分布)與交流峰值磁密 Bac和直流分量 Hb有關(guān)，可以根據(jù)不同交流磁密峰值、不同直流分量下?lián)p耗實測數(shù)據(jù)通過線性回歸函數(shù)擬合得到。在正弦低頻交變磁場疊加直流偏磁分量激勵下，總損耗測量值 Wt,m(Bac,Hb)與式(10)得到的渦流損耗計算值 Wcl(Bac)之間的差值與頻率 f 的 0.5 次方滿足線性關(guān)系[15]，如式(28)所示。基于線性回歸擬合獲取 kex 值，進(jìn)一步可辨識出參數(shù) V0。 0.5 t,m ac b cl ac h ex W B H W B W k f ( , ) ( ) ? ? ? (28) 式中：Wh 為擬合獲取磁滯損耗值;kex 為剩余損耗系數(shù)， 1.5 ex 0 ac k GSV B ? 8.76 ? 。

　　利用 10Hz、30Hz、50Hz、80Hz、100Hz 下不同交流峰值磁密、不同直流分量的損耗測量值辨識 V0。以 Bac=0.5T、0.9T 為例，圖 5 給出了在不同直流分量下的線性回歸曲線。綜合分析圖 5 和表 5 可知，在相同交流峰值磁密下，隨著直流分量的增加參數(shù) V0 也隨之增大。因此，通過統(tǒng)計參數(shù) V0(Bac,Hb) 可以考慮直流偏磁對剩余損耗的影響。

　　為了便于快速得到直流偏磁下的統(tǒng)計參數(shù) V0(Bac,Hb)，本文將借助多元回歸分析方法，基于表 5 給出的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到 V0(Bac,Hb)與無直流偏磁下的統(tǒng)計參數(shù) V0(Bac,Hb=0)、Bac、Hb 之間的數(shù)值關(guān)系。首先，將 V0(Bac,Hb)按照對應(yīng)的 V0(Bac,Hb=0)進(jìn)行歸一化處理，如式(29)所示[10]。然后，采用多元回歸分析方法，擬合出 V0_歸一化與交流峰值磁密 Bac 和直流分量 Hb 之間滿足的有理函數(shù)的未知系數(shù)，詳見式(30)。按照式(30)繪制了圖 6 所示的歸一化統(tǒng)計參數(shù) V0_歸一化與交流峰值磁密 Bac、直流分量 Hb 之間的三維關(guān)系圖。利用式(29)、式(30)及 V0(Bac,Hb=0)的取值，可以實現(xiàn)對任意交流峰值磁密、直流分量下的剩余損耗統(tǒng)計參數(shù) V0(Bac,Hb)的求解。

　　表 6 給出了直流偏磁量 Hb=60A/m 時，不同交流磁通密度 Bac下，V0(Bac,Hb)計算值(公式(29)、(30)) 與提取值(公式(28))的對比。通過對比可以看出，計算值與提取值較為吻合，誤差絕對值不超過 7.5%，驗證了 V0(Bac,Hb)計算函數(shù)表達(dá)式可以滿足計算要求。

　　根據(jù) 2.3 節(jié)分析，選擇交流磁密 Bac=0.5T、0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m，頻率 f=100Hz、 500Hz 時對應(yīng)的損耗測量值作為算法的擬合數(shù)據(jù)點，保證所獲得的?和 n 最優(yōu)值能夠滿足任意磁通密與直流分量條件下的不同頻率的損耗預(yù)測。基于模擬退火算法辨識的?和 n 最優(yōu)值分別為 0.029 和 0.842，目標(biāo)函數(shù)值隨溫度迭代次數(shù)的變化曲線如圖 7 所示。

　　在工頻或更高頻段下直流偏磁條件下磁滯特性的模擬應(yīng)考慮渦流損耗與剩余損耗的影響。結(jié)合 3.2 節(jié)所獲取的損耗統(tǒng)計參數(shù) V0 和分?jǐn)?shù)階特征參數(shù)辨識值，并根據(jù) 1.2 節(jié)與 2.2 節(jié)所提動態(tài) J-A 模型及基于 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)改進(jìn)動態(tài) J-A 模型分別對不同頻率直流偏磁 Hb=50A/m，交流磁密 Bac=0.7T、 0.9T 條件下對應(yīng)動態(tài)磁滯回線進(jìn)行模擬并與實測值比較，如圖 8 所示。由圖 8 可以看出，動態(tài) J-A 模 型 及 其 基 于 分 數(shù) 階 改 進(jìn) 模 型 在 低 頻 段(50~200Hz)模擬得到的動態(tài)磁滯回線與實測曲線較為吻合。而在更高頻段，由于集膚效應(yīng)凸顯，損耗分離理論及其公式不再適用，1.2 節(jié)構(gòu)建的動態(tài) J-A 模型模擬的動態(tài)磁滯回線的矯頑力及底部尖端相較于測量曲線均增大，并最終導(dǎo)致所模擬的動態(tài)磁滯回線面積(損耗)偏大。而 2.2 節(jié)構(gòu)建的基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)改進(jìn)動態(tài) J-A 模型能夠有效抑制所模擬動態(tài)磁滯回線面積偏大的趨勢，使得所模擬動態(tài)磁滯回線更接近實測值。兩類動態(tài) J-A 模型對電工鋼樣品在不同頻點下?lián)p耗(動態(tài)磁滯回線面積)的模擬誤差絕對值對比結(jié)果如圖 9 所示。由對比結(jié)果可知，相較于動態(tài) J-A 模型，基于改進(jìn)動態(tài) J-A 模型在更高頻段(400-1000Hz)范圍內(nèi)模擬的損耗值誤差得到抑制，其在整體頻段下模擬損耗的誤差絕對值不超過 8%，驗證了所提方法的有效性。

　　將第 2.1 節(jié)給出的直流偏磁下靜態(tài) J-A 修正模型與傳統(tǒng)損耗分離理論相結(jié)合構(gòu)建損耗計算模型一(式(10)、式(11)與式(20));將模型一中的渦流損耗分量替換為本文所提出的基于R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)渦流損耗表達(dá)式，實現(xiàn)損耗計算模型二的構(gòu)建(式(11)、式(20)與式(23))。采用上述兩種損耗計算模型對電工鋼在交流磁密 Bac=0.5T、0.7T、 0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m，頻率區(qū)間為 10Hz~1000Hz 范圍內(nèi)的總損耗進(jìn)行模擬，并將模擬結(jié)果與實測結(jié)果進(jìn)行對比，如圖 10~圖 12 所示。通過對比可知，兩種損耗計算模型在低頻段(10~200Hz)的損耗模擬結(jié)果保持一致，而隨著頻率的進(jìn)一步增加，模型一損耗計算值與測量值之間的偏差逐漸增大，而模型二損耗計算值在整個頻率區(qū)間內(nèi)則與測量值吻合良好。上述結(jié)果進(jìn)一步驗證了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的引入實現(xiàn)了損耗計算模型在低頻與高頻范圍內(nèi)對損耗的整體模擬精確性。

　　為了便于定量分析兩種損耗計算模型的全局預(yù)測精度，本文引入平均相對誤差加以描述，表達(dá)式如下[15]： i,cal ac dc i,mea ac dc 1 i,mea 1 ( , ) ( , ) 100% n i W B B W B B n W ???? ? ? (31) 式中：n 為測量頻點數(shù)量，在不同磁密和直流分量下的測量頻率范圍內(nèi)(10~1000Hz)取 n=15，Wi,cal、 Wi,mea 分別為每個頻點對應(yīng)損耗計算值與實測值。

　　當(dāng)交流磁密 Bac=0.5T、0.7T、0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m 時，模型一和模型二損耗計算平均相對誤差如表 7 所示。由表 7 可知，模型二的計算精度整體上優(yōu)于模型一，說明基于 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的損耗計算模型可以有效地對高頻疊加直流偏磁條件下的損耗進(jìn)行精確預(yù)測，驗證了所提方法的準(zhǔn)確性。

　　4 結(jié)論

　　針對高頻交流磁場疊加直流偏磁條件下鐵磁材料的磁滯與損耗特性精確模擬問題，本文開展了動態(tài)磁滯模型及其參數(shù)辨識算法的相關(guān)研究，得出如下結(jié)論：

　　1)在靜態(tài) J-A 磁滯模型中引入直流分量，改進(jìn) J-A 磁滯理論在直流偏磁下的能量平衡方程，以及無磁滯磁化曲線、有效磁場強度、磁通密度系列公式。在此基礎(chǔ)上，考慮高頻磁化條件下渦流損耗和剩余損耗對磁性體系能量的影響，基于損耗統(tǒng)計理論和分?jǐn)?shù)階微分算子，構(gòu)建一種新型動態(tài) J-A 磁滯模型。

　　2)結(jié)合全局優(yōu)化算法—模擬退火算法，將動態(tài) J-A 模型的損耗計算值與測量值之間的均方根誤差最小化作為優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)，提出動態(tài) J-A 模型特征參數(shù)(阻尼系數(shù)?及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次 n)的尋優(yōu)算法，實現(xiàn)模型特征參數(shù)的精確辨識。基于直流偏磁下?lián)p耗測量數(shù)據(jù)，辨識剩余損耗的統(tǒng)計參數(shù) V0，并提出描述歸一化 V0 的有理函數(shù)表征式。

　　3)以實驗測量結(jié)果為基準(zhǔn)，靜態(tài) J-A 模型修正模型對直流偏磁下磁滯損耗計算誤差值最大為 4.11%;基于 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的動態(tài) J-A 模型對高頻疊加直流偏磁下磁滯回線面積(損耗)模擬絕對誤差值最大為 7.84%;本文所提損耗計算模型的損耗計算值平均相對誤差最大為 7.35%。