一種優化的核磁共振圖像重建方法

　　摘要：成像速度慢制約了核磁共振在臨床醫學診斷中的應用，壓縮感知理論提供了解決問題的新思路，可以利用圖像稀疏性壓縮信息并通過數學模型重建圖像，方法的關鍵是模型和算法。本文提出了聯合先驗的重建模型，改進了迭代閾值法和增廣拉格朗日法，并通過對比實驗證明了優化后圖像重建方法的有效性。

　　關鍵詞：核磁共振圖像;壓縮感知;聯合先驗模型;拉格朗日算法

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　　1 背景

　　核磁共振是現代醫療診斷技術的重要組成部分，但受到傳統尼奎斯特采樣方式的限制，臨床應用中成像速度慢，帶來了患者不適、運動噪影、成本過高等問題，制約了其發展和應用。Candes等[1-2]提出的壓縮感知理論為解決該問題開辟了新路徑，該理論的必要條件是圖像具有稀疏性或是可被稀疏化，通過滿足等距限制條件的觀測矩陣將原始圖像壓縮保存到觀測數據中，降低采樣量減少了采樣時間，同時減輕了后續步驟中傳輸、解壓和存儲數據的成本。Lustig等[3]在深入分析壓縮感知理論應用于磁共振快速成像的可行性，首次提出了基于壓縮感知的磁共振成像問題(簡稱CS—MRI)。

　　2 基礎知識框架

　　核磁共振技術的原理是對受檢患者施加外部磁場，使得人體內的氫原子在磁場中共振，從而產生電磁波在K空間進行編碼最后成像。

　　傳統信號處理首先要對信號進行采樣，采樣時遵循尼奎斯特采樣定理，若要無失真重建新號，采樣頻率不能小于信號最大頻率的兩倍，即滿足f采樣≥2fmax。采樣頻率過高難以實現，壓縮后還是會有大量信息冗余，在這個信息爆炸的年代大大增加了信息處理和管理的成本。

　　壓縮感知理論突破了傳統采樣的限制，解決了以上技術和成本問題，主要是通過對原始信號進行稀疏表示，選擇滿足限制等距限制原則的觀測矩陣將原始圖像的高維信號壓縮保存到觀測數據的低維空間，然后根據數學原理建立合適的模型進行求解，其原理和流程如圖1所示。

　　稀疏性是壓縮感知理論應用的基礎和必要條件，同時也是磁共振圖像的重要先驗信息，常用的稀疏變換有傅里葉變換、小波變換、輪廓波等后小波變換、離散余弦波變換、多尺度幾何分析的脊波、曲波等。在此基礎上研究發展出了雙樹復小波變換[4]、基于塊方向性小波[5]、基于塊稀疏的K-SVD方法和稀疏基為自適應字典學習的DLMRI方法[6]等。除了稀疏性外，其特征也可以作為圖像先驗，如結構的相似性、非局部相似性、像素域的幅值和位置、區域連通性等，將其引入CS-MRI重建模型有助于實現欠采樣模式下的圖像重建，進一步提升重建效率。

　　基于壓縮感知的磁共振圖像重建可以通過求解l0范數最優化問題來實現，但l0范數問題屬于NP難問題。凸優化算法將最小l0范數可以被轉化為最小l1范數問題進行求解，經典方法有基追蹤算法、梯度下降法和分離布雷格曼迭代算法等。貪婪追蹤算法直接求解l0范數問題獲得最優近似解，核心思想是通過不斷迭代修正當前圖像來逼近原始圖像，經典方法有正交.匹配追蹤和迭代閾值算法，并在此基礎上發展出了快速迭代閾值收縮算法和兩步迭代閾值算法。

　　與圖像特征、先驗信息和模型特點結合更緊密的算法也逐漸發展，如基于圖像局部相似性先驗提出塊匹配算法BM3D7，適用于無約束凸優化模型的RecPF算法[8]，適用于求解多正則項模型的分裂增廣拉格朗日收縮算法[9]等。

　　3 優化方案實現

　　目前對于CS-MRI的建模研究，逐漸從原本的單一先驗轉向多種先驗聯合，所以也會出現多正則項的重建模型，如公式(1)所示。

　　結合已有研究基礎，本文引入了兩項圖像先驗信息作為模型的正則項，分別是非局部自相似先驗和總變分稀疏先驗，簡稱為聯合先驗的CS-MRI正則模型，如公式(2)所示，

　　其中， 為數據保真項， 為基于總變分稀疏先驗的正則項， 為基于非局部自相似性先驗的正則項，λ平衡數據保真項和正則項的因子。