多策略協(xié)同改進的阿基米德優(yōu)化算法及其應(yīng)用

　　摘 要：針對阿基米德優(yōu)化算法(AOA)尋優(yōu)過程中存在全局搜索能力弱、收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)等缺陷，提出一種融合多策略的阿基米德優(yōu)化算法(MAOA)。首先，采用隨機高斯變異策略，選取適應(yīng)度優(yōu)的多個個體引導種群向最優(yōu)解區(qū)域?qū)?yōu)，增強全局搜索能力;其次，利用多種混沌映射的隨機性、遍歷性和多樣性，引入局部混沌搜索策略，擴大混沌空間的搜索范圍，提高算法的局部開發(fā)能力;同時，為了協(xié)調(diào)算法的全局勘探和局部開采能力，提出一種非線性動態(tài)密度降低因子;最后，利用 Levy 飛行引導機制的黃金正弦策略對種群位置進行擾動更新，增加迭代過程中種群的多樣性，提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。通過對 12 個基準測試函數(shù)和部分 CEC2014 測試函數(shù)進行仿真實驗，結(jié)果表明所提算法能夠改善 AOA 全局探索能力弱、易陷入局部最優(yōu)等缺點，提高 AOA 的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。另外，引入機械設(shè)計案例進行測試分析，進一步驗證 MAOA 在處理實際問題上的適用性和可行性。

　　關(guān)鍵詞：阿基米德優(yōu)化算法;隨機高斯變異策略;非線性動態(tài)密度降低因子;Levy 飛行;黃金正弦;機械設(shè)計優(yōu)化

　　羅仕杭; 何慶 計算機應(yīng)用研究 2021-12-20

　　0 引言

　　現(xiàn)實生活中的優(yōu)化問題愈顯復雜化，表現(xiàn)出非線性、多約束、高維、不連續(xù)等特征。用傳統(tǒng)的優(yōu)化理論和方法很難解決這些復雜的優(yōu)化問題，而元啟發(fā)式算法對這類問題卻可以獲得較好的優(yōu)化結(jié)果。因此，近年來元啟發(fā)式算法受到眾多學者的廣泛關(guān)注和研究，其在光伏電池和模塊的參數(shù)識別[1]、多閾值圖像分割[2]、路徑規(guī)劃[3]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。受生物群體的社會性質(zhì)和自然現(xiàn)象規(guī)律的啟發(fā)，研究人員相繼提出了 許 多 元 啟 發(fā) 式 算 法 ， 如 粒 子 群 優(yōu) 化 (particle swarm optimization，PSO)[4]、黑猩猩優(yōu)化算法(chimp optimization algorithm，ChOA)[5]、被囊群算法(tunicate swarm algorithm， TSA)[6]、哈里斯鷹算法(Harris hawks optimization，HHO)[7]、均衡優(yōu)化算法(equilibrium optimization algorithm，EO) [8]、阿基米德優(yōu)化算法(Archimedes optimization algorithm，AOA)。阿基米德優(yōu)化算法是 2020 年 Fatma A. Hashim 等人[9]提出的新型元啟發(fā)式算法，該算法通過模仿完全或部分浸沒在流體中的物體發(fā)生碰撞時所受浮力的關(guān)系，在迭代過程中不斷調(diào)整個體密度、體積和加速度，從而使個體達到平衡狀態(tài)，適應(yīng)度值優(yōu)的個體引導種群收斂到最優(yōu)位置，達到尋優(yōu)的目的。與傳統(tǒng)的優(yōu)化算法相比，元啟發(fā)式算法具有控制參數(shù)少、易于實現(xiàn)、隨機性大和適應(yīng)性強等特點。然而，AOA 同其他元啟發(fā)式算法相似，存在全局搜索性能差，求解精度低和易陷入局部最優(yōu)等缺陷。

　　為改善元啟發(fā)式優(yōu)化算法全局搜索能力弱，易陷入局部最優(yōu)等缺陷，許多學者提出改進，例如：He 等[10]將高度破壞性的多項式突變用于 ChOA 種群初始化，在增強種群多樣性的基礎(chǔ)上為全局搜索奠定基礎(chǔ);韓敏等[11]將混合高斯函數(shù)和混沌特性的變異算子引入 PSO 算法，避免算法陷入局部最優(yōu);劉成漢等[12]為改善 EO 算法的收斂性能，提出了一種振蕩禁忌搜索的自適應(yīng)均衡優(yōu)化算法，提高算法的尋優(yōu)性能。上述文獻對元啟發(fā)式優(yōu)化算法的改進提高了算法的全局搜索能力，在一定程度上降低算法陷入局部極小值的概率，但仍存在算法尋優(yōu)精度不足，平衡全局搜索和局部開發(fā)能力弱等問題。為此，本文提出多策略協(xié)同改進的阿基米德優(yōu)化算 法(archimedes optimization algorithm improved by multistrategy collaborative，MAOA)，首先，在算法全局搜索階段，提出隨機高斯變異策略，選擇多個適應(yīng)度值優(yōu)的個體引導種群向最優(yōu)解附近靠攏，增強算法全局搜索的能力;其次，利用混沌序列具有遍歷性、隨機性和多樣性的特點，引入局部混沌搜索策略，拓寬算法的搜索范圍，充分利用已有的信息，使群體在最優(yōu)區(qū)域進行精細搜索;同時，提出非線性動態(tài)密度降低因子，使其在算法迭代前中期維持一個相對較大值，以保證 MAOA 的全局尋優(yōu)性能，隨迭代次數(shù)增加至后期其值快速減小，使算法在最優(yōu)解周圍進行精確搜索，達到平衡算法全局搜索和局部開發(fā)的能力;最后，將 Levy 飛行機制中長短距離和搜索方向的不確定性引入黃金正弦策略中，實現(xiàn)對種群個體位置的擾動，搜索范圍以黃金比例縮小，使種群不斷接近最優(yōu)解，同時避免算法陷入局部最優(yōu)。通過對 12 個基準測試函數(shù)、部分 CEC2014 函數(shù)以及機械優(yōu)化案例進行仿真實驗，實驗結(jié)果表明 MAOA 算法不僅具有很強的尋優(yōu)性能和魯棒性，而且在實際工程問題中具有適用性和可行性。

　　1 阿基米德優(yōu)化算法

　　阿基米德優(yōu)化算法仿生原理為：AOA 的種群個體是浸入流體中的物體，通過調(diào)整物體的密度、體積和加速度，來實現(xiàn)種群位置的更新。 AOA 的具體實現(xiàn)步驟如下：根據(jù)浸透在液體中的物體是否發(fā)生碰撞，AOA 將其分為全局探索和局部搜索階段。若未發(fā)生碰撞，算法進行全局探索階段;反之，進行局部開發(fā)階段。AOA 通過轉(zhuǎn)移因子 TF 實現(xiàn)算法從全局探索切換到局部開發(fā)的過程。

　　1.1 初始階段在此階段，AOA 初始化個體的密度(den)、體積(vol)、加速度(acc)，選出當前最優(yōu)適應(yīng)度個體(xbest)，最優(yōu)密度(den)。最優(yōu)體積(vol)以及最優(yōu)加速度(acc)。通過式(1)(2)(3)分別更新轉(zhuǎn)移因子 TF、密度降低因子 d 以及密度和體積。 max max exp( ) t t TF t − = (1) 其中 t 表示當前迭代次數(shù)，tmax 表示最大迭代次數(shù)。 1 max max max exp( ) ( ) t t t t d t t + − = − (2) 1 1 ( ) ( ) t i t i t best i t i t i t best i den den rand den den vol vol rand vol vol + + = + ? − = + ? − (3) 其中 rand 為(0,1)間隨機數(shù)。den t i和 dent+1 i 分別為第 i 個個體在第 t 代和第 t+1 代的密度，volt i和 vol t+1 i 為第 i 個個體在第 t 代和第 t+1 代的體積。

　　1.2 全局探索階段

　　當 TF≤0.5 時，算法進行全局探索階段，個體的加速度更新數(shù)學模型如式(4)所示。 1 1 1 mr mr mr t i t t i i den vol acc acc den vol + + + + + = ? (4)其中 acc t+1 i 為第 i 個個體在第 t+1 代的加速度。denmr，volmr， accmr 分別隨機選擇碰撞個體的密度，體積和加速度。通過式(5)對加速度進行標準化處理，用來更新碰撞個體位置。 1 1 min( ) max( ) min( ) t i t i norm acc acc acc u l acc acc + + − + = ? + ? (5) 碰撞個體的位置更新數(shù)學模型如式(6)所示。 1 1 1 ( ) t t t t x x c rand acc d x x i i i norm rand i + + = + ? ? ? ? − − (6) 其中 x t i表示第 i 個個體在第 t 次迭代的位置向量，C1為常數(shù)， rand∈(0,1)的一個隨機數(shù)，xrand 表示第 i 個隨機個體在第 t 次迭代的位置向量。 1.3 局部開發(fā)階段當 TF>0.5 時，算法處于局部開發(fā)階段，個體加速度更新數(shù)學模型如式(7)所示。 1 1 1 best best best t i t t i i den vol acc acc den vol + + + + + = ? (7) 通過式(5)對加速度進行標準化處理，用來更新平衡個體位置，其數(shù)學模型如式(8)所示。 1 1 2 ( ) t t t t x x F c rand acc d T x x i best i norm best i + + = + ? ? ? ? ? ? − − (8) 其中 xbest 表示全局最優(yōu)個體，C2 為常數(shù)，T=C3×TF，C3 為常數(shù)。F 是改變個體移動方向的標志，用于決定個體位置更新的方向，定義如下： +1 if 0.5 = 1 if 0.5 p F p ? ???− ? (9) 其中 p=2×rand-C4，C4 為常數(shù)。

　　2 多策略協(xié)同改進的阿基米德優(yōu)化算法

　　在全局開發(fā)階段，AOA 僅依靠一個隨機個體帶領(lǐng)種群向最優(yōu)區(qū)域?qū)ふ易顑?yōu)解，當隨機個體是一個較差的解時，會導致算法尋優(yōu)精度低，同時，在局部開發(fā)階段，種群圍繞最優(yōu)個體進行位置更新，當最優(yōu)個體陷入局部極值空間時，種群隨之陷入局部最優(yōu)，導致算法出現(xiàn)停滯搜索現(xiàn)象;最后，根據(jù)式(1)可知，當 TF 的取值范圍為(0.36,0.5)，AOA 進行全局搜索，當 TF 的取值范圍為(0.5,1)，AOA 進行局部開發(fā)，這使得算法全局搜索階段過短，未能搜索更廣闊的區(qū)域，可能丟失更優(yōu)的解。綜上所述，本文針對上述 AOA 原理的缺陷，引入對應(yīng)的策略進行改進。具體策略介紹如下：

　　2.1 隨機高斯變異策略

　　標準 AOA 在全局搜索階段僅依靠種群中某個隨機個體的引導進行種群位置更新，然而隨機個體可能是一個較差的解，導致算法的全局尋優(yōu)能力較弱。因此，為提高 AOA 的全局搜索能力，本文提出隨機高斯變異策略。在隨機策略中，個體根據(jù)其適應(yīng)度值進行排序，然后從種群中選取排名靠前的 k 個個體引導種群向全局最優(yōu)區(qū)域靠攏。對當前最優(yōu)個體引入高斯變異，有效地利用當前全局最優(yōu)個體的位置信息，保證產(chǎn)生的新個體之間進行充分的信息交流，隨機高斯變異策略的數(shù)學模型如式(10)所示。 mutation (0,1) / k i best i i X X N k ?? = ? = ? (10) 其中：N(0,1)表示期望為 0，標準差為 1 的正態(tài)分布隨機數(shù)， Xmutation 為變異后的新個體位置。由高斯分布特點可知，隨機高斯變異策略的重點搜索區(qū)域為最優(yōu)個體附近的區(qū)域，有利于算法快速找到全局極小值，增強算法全局搜索最優(yōu)值的能力。

　　2.2 局部混沌搜索策略

　　在優(yōu)化領(lǐng)域，混沌映射不斷迭代產(chǎn)生混沌序列，實現(xiàn)對混沌空間的遍歷搜索[13]。局部混沌搜索充分利用混沌映射具有遍歷性、隨機性、不可預(yù)測性等特性，在局部開發(fā)階段對個體嵌入不同的混沌映射序列，不僅擴大了混沌搜索空間，增加個體信息的多樣性，而且在一定程度上協(xié)助算法跳出局部極值空間，從而提高算法的尋優(yōu)精度。不同的混沌映射產(chǎn)生的混沌序列是完全不同的，由于混沌序列的不重復性和遍歷性，使用混合多種混沌映射的搜索范圍和搜索精度都優(yōu)于單一的混沌映射。通過研究多種混沌映射所產(chǎn)生的混沌序列分布情況，本文選取 6 個典型的具有獨特分布特性的混沌映射，其數(shù)學模型如下所示。 (1)Chebyshev 映射： 1 1 cos( cos ) t t z z ? − + = (11) 其中 zt 是第 t 個混沌值，zt?(0,1)，?=5，z0=0.7。 (2)Sin 映射：Sin 混沌映射是以正弦函數(shù)為基礎(chǔ)的混沌映射，其數(shù)學模型如式(12)所示。 1 sin( ) 4 t t a z pi z + = ? (12) 其中 a=4，z0=0.7。 (3)Logical 映射：logical 映射作為研究復雜動力系統(tǒng)的經(jīng)典模型，其數(shù)學模型如式(13)所示。 1 (1 ) t k t z z z + = ? − ? (13) 其中 μ=4，z0=0.7。 (4)Singer 映射： 2 3 4 1 (7.86 23.31 28.85 13.302875 ) t t t t t z z z z z + = ? − + − ? (14) 其中 μ=1.073，z0=0.7。 (5)Circle 映射： 1 sin(2 ) mod(1) 2 t t t b z z a pi z pi + = + − ? ? ? (15) 其中 a=0.5，b=2.2，z0=0.7。 (6)Tent 映射：Tent 映射廣泛運用在混沌加密系統(tǒng)，其數(shù)學模型如式(16)所示。 1 / 0 = 1 ) / (1 ) 1 t t t t t z z z z z ? ?? ? + ? ? ? ?? − − ? ? (16) 其中 β=0.4，z0=0.7。假設(shè)搜索空間為二維，上下界分別為 0 和 1，圖 1 顯示了不同混沌映射迭代 100 次后的波形圖。

　　本文選取 6 個混沌映射，設(shè)計了一種混合多種混沌映射的搜索策略，有助于算法專注于在已探索的區(qū)域?qū)ふ业礁玫慕鉀Q方案，增強種群間的信息交流，保持算法的多樣性。為了將多種混沌映射引入算法的局部開發(fā)階段，本文假設(shè)有 50%的概率正常更新局部個體位置或在混沌映射之間進行選擇，達到在優(yōu)化過程中更新個體位置的目的。局部混沌搜索策略的數(shù)學模型如式(17)所示。 1 1 2 1 if 0.5 = ( ) _ if 0.5 t t t i best i norm t t new best i x x F c rand acc X d T x x Chaotic value ?? + + − + ? = + ? ? ? ? ? ?? ? ? − ?? ? (17) 其中 θ 為(0,1)的隨機數(shù)。

　　2.3 非線性動態(tài)密度降低因子

　　標準 AOA 的密度降低因子 d 是協(xié)調(diào)全局勘探和局部開采的關(guān)鍵，由式(2)可知，d 是隨迭代次數(shù)非線性遞減到 0 的，在迭代前期，當前最優(yōu)解與全局最優(yōu)解相距較遠時，下降較快且值較小的 d 不利于實現(xiàn)算法在解空間內(nèi)覆蓋性的搜索，在迭代后期，d 值下降過慢會導致算法局部開采能力受限，限制算法搜索能力。為解決此問題，本文受正弦函數(shù)思想的啟發(fā)，重構(gòu)密度降低因子，其數(shù)學模型如下： 1 2 max ( ) sin( (( ) ) t first first final pi t d d d d ? t + = − − ? ? (18) 其中 dfirst表示迭代開始時 d 的起始值，即當 t=0 時，dfirst=2.7; dfianl 表示迭代結(jié)束時 d 的終止值，即當 t=0 時，dfianl=0.01。?控制曲線的平滑程度，經(jīng)多次實驗驗證，當?=1.8 時，實驗結(jié)果最優(yōu)。由式(18)可知，在迭代前中期全局搜索時，d 值較大且非線性遞減較慢，算法不斷搜索未知區(qū)域，具備較強的探索能力。在迭代后期 d 值較小且非線性遞減趨勢逐漸增大，算法的開發(fā)性能逐步增強并盡可能在最優(yōu)解周圍進行精確搜索，以平衡算法全局搜索和局部開發(fā)能力。

　　2.4 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略

　　在標準 AOA 中，當 TF>0.5 時，算法進行局部開發(fā)，種群中其他個體通過當前最優(yōu)個體的引導向最優(yōu)解靠近，如果當前最優(yōu)個體找到更好的解，整個種群會涌入最優(yōu)個體附近，導致種群密度過高，種群的多樣性減少，從而使算法陷入局部極值空間。為解決這一問題，本文采用 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略。黃金正弦算法是 Tanyildizi 等人[14]所提出的元啟發(fā)式算法,具有尋優(yōu)精度高，魯棒性好的特點，其通過正弦函數(shù)與單位圓的關(guān)系，使得種群遍歷單位圓上的所有點，即正弦函數(shù)上的所有點，以黃金比例縮小算法的搜索區(qū)域。同時引入 Levy 飛行引導機制，利用 Levy 飛行方向和步長的不確定性對種群位置進行擾動，提高算法的多樣性，降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。Levy 飛行的數(shù)學模型如下所示。 1/ 2 1 1 ( ) 2 2 ( ) ~ (0, ), ~ (0, ), 1 ( (1 ) sin( ) 2 1 ( ) ) 2 2 Levy N N pi ????? ??? ???? ??????? ? ? − ? = ? = ??? = ???? + ? + ??? ? (19) 其中?是一個常數(shù)，決定 Levy 概率密度函數(shù)的形狀，本文取?=1.5。 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略更新個體位置的數(shù)學模型如式(20)所示。 1 novel 1 2 1 1 2 sin( ) ( ) sin( ) t i t t X X R levy R R x X x X i best i ? + = ? + ? ? ? ? − ? (20) 1 2 (1 ) 2 2 5 2 / 2 x pi pi x pi pi ??? = − + − ? = − + ? = − (21) 其中 R1 和 R2 為[0,2?]、[0,?]的隨機數(shù)，決定下一次迭代中個體的移動距離和方向;x1 和 x2 是黃金分割系數(shù)，?為黃金分割數(shù)，這些系數(shù)在每一次迭代中幫助算法引領(lǐng)個體逐步趨近最優(yōu)值，提高算法的收斂精度和速度。

　　雖然用 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略能夠提高算法的搜索精度，幫助算法跳出局部最優(yōu)，但是無法直接判斷產(chǎn)生的新個體位置是否優(yōu)于原始個體位置。因此，采用貪婪策略比較新舊個體適應(yīng)度值，再決定是否更新個體位置，通過這種方式不斷獲取更優(yōu)解，從而提升算法的尋優(yōu)性能。貪婪策略的數(shù)學模型如式(22)所示。 1 1 1 1 +1 1 +1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t novel i novel t updata t t t i i novel X f X f X X X f X f X + + + + + ? ? = ?? ? (22)

　　2.5 MAOA 算法實現(xiàn)步驟

　　綜上改進策略，MAOA 執(zhí)行步驟如下： MAOA 算法偽代碼：設(shè)置算法相關(guān)參數(shù)：種群規(guī)模 N、空間維度 dim、種群的搜索邊界 [ub,lb]、最大迭代次數(shù) tmax. while (t

　　2.6 MAOA 時間復雜度分析

　　MAOA 的時間復雜度主要由隨機高斯變異策略、局部混沌搜索策略、非線性動態(tài)密度降低因子和 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略組成。設(shè) AOA 的種群規(guī)模為 N，搜索空間維度為 d，最大迭代次數(shù)為 T，則標準 AOA 的時間復雜度為 O(N?d?T)。 MAOA 是由標準 AOA 改進而來的，首先計算隨機高斯變異策略時間復雜度，因為個體根據(jù)其適應(yīng)度值排序和選取排名靠前的 k 個個體所需時間為 t1，所以隨機高斯變異策的時間復雜度為 O(N?d?T+t1)=O(N?d?T);其次，設(shè)選取 6 個不同的混沌映射所需時間為 t2，每一維按照式(17)更新個體位置所需時間為 t3，則引入局部混沌搜索策略的時間復雜度為 O(N?d?T?t3+t2)=O(N?d?T);再次，設(shè)計算非線性動態(tài)密度降低因子所需時間為 t4，此階段的時間復雜度為 O(N?d?T+t4)= O(N?d?T);最后，每一維按照式(20)更新個體位置所需時間為 t5，利用貪婪機制比較新舊個體適應(yīng)度所需時間為 t6，保留最優(yōu)位置時間為 t7，則 Levy 飛行引導機制的黃金正弦策略所需時間為 O(N?d?T?(t5+t6)+t7)=O(N?d?T)。綜上分析可得， MAOA 的時間復雜度為 O(N?d?T)+O(N?d?T)+O(N?d?T)+ O(N?d?T)= O(N?d?T)。綜上所述，MAOA 的時間復雜度與 AOA 時間復雜度一致，本文針對標準 AOA 的缺陷所提改進策略并沒有增加計算負擔。

　　3 仿真實驗與結(jié)果分析 3.1 實驗設(shè)計和參數(shù)設(shè)置

　　仿真實驗環(huán)境設(shè)置為 64 位 Windows 10 操作系統(tǒng)，CPU 為 Intel(R) Core(TM) i5-7500，主頻為 3.4GHz，內(nèi)存為 8GB，編程軟件為 MATLAB R2021a。本文挑選 12 個具有不同特征的基準測試函數(shù)進行仿真實驗，其中 7 個單峰函數(shù)為 f1~f7，5 個多峰函數(shù)為 f8~f12，具體取值范圍和理論最優(yōu)值等信息如表 1 所示。本文選取最新的元啟發(fā)式算法—黑猩猩優(yōu)化算法(ChOA)、均衡優(yōu)化算法 (EO)、被囊群算法(TSA)、哈里斯鷹(HHO)以及最新改進的均衡優(yōu)化算法(CfOEO)和改進蝴蝶算法(LBOA)[15]進行比較，它們的參數(shù)設(shè)置如表 2 所示。

　　3.2 不同改進策略對算法性能影響分析

　　為充分驗證本文所提 MAOA 改進策略的有效性，將標準 AOA 與本文加入隨機高斯變異策略的算法(RAOA)、加入局部混沌搜索策略的算法(CAOA)、加入非線性動態(tài)密度降低因子的算法(DAOA)和加入 Levy 引導機制的黃金正弦策略的算法(GAOA)在 12 個具有不同尋優(yōu)特征的基準測試函數(shù)上進行仿真實驗。算法參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為：種群規(guī)模 N=30，搜索空間維度 dim=30，最大迭代次數(shù) tmax=500。通過最優(yōu)值、最差值、平均值和標準差四個評價指標來評估各算法的尋優(yōu)性能，仿真實驗結(jié)果如表 3 所示。表 3 通過最優(yōu)值和平均值來反映算法的尋優(yōu)性能，通過標準差來反映算法的穩(wěn)定性。首先，MAOA 單峰函數(shù)尋優(yōu)時，六個函數(shù) f1~f4、f6 和 f7 的四個評價指標均達到理論最優(yōu)值，而對于函數(shù) f5，其形狀類似于拋物面，存在大量局部最優(yōu)值， MAOA 搜索陷入局部極值空間，其他改進算法也均出現(xiàn)尋優(yōu)停滯，但是 MAOA 相較于其他改進算法具有更高的收斂精度和穩(wěn)定性。其次，MAOA 求解多峰函數(shù)時，對于函數(shù) f8、 f10~f12 均可以尋到理論最優(yōu)值，且標準差求解結(jié)果穩(wěn)定，而函數(shù) f9 是具有山谷狀的多峰函數(shù)，其全局最優(yōu)值位于山低端比較難尋，所以 MAOA 與其他改進算法求解 f9 時均為尋到最優(yōu)，但是 MAOA 無論是在搜索精度上還是在穩(wěn)定性上均表現(xiàn)出一定的優(yōu)勢。具體來說，RAOA、CAOA 和 GAOA 求解函數(shù) f1~f4、 f6~f8、f10~f12 有顯著的效果，這是因為隨機高斯變異策略帶領(lǐng)種群向最優(yōu)解附近靠攏，增強算法全局搜索的能力;局部混沌搜索策略擴大算法的局部搜索空間，協(xié)助種群在最優(yōu)解區(qū)域進行精細搜索;非線性動態(tài)密度降低因子加強協(xié)調(diào)算法的全局探索和局部開發(fā)能力;Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略縮小最佳搜索區(qū)域，加快算法收斂速度，并對種群位置進行擾動更新，增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。DAOA 對函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果是 4 種改進策略中效果最差的，但其搜索精度和穩(wěn)定性相較于標準 AOA 也有明顯的提升，尤其是求解函數(shù) f1、f6、f10 和 f12 時。對于函數(shù) f7，DAOA 的平均值劣于 AOA，但差異穩(wěn)定在一個數(shù)量及內(nèi)，在可以接受的范圍。

　　3.3 MAOA 收斂性分析

　　為了反映SLWChOA的動態(tài)收斂特性，在搜索維度為30，獨立運行 30 次的條件下，縱坐標取以 10 為底的對數(shù)，采用平均收斂曲線圖描述算法的收斂性。圖 2(a)~(l)給出了 12 個基準測試函數(shù)的平均收斂曲線圖。由圖 2 可知，在單峰函數(shù)和多峰函數(shù)上，在相同的迭代次數(shù)下 MAOA 具有更高的求解精度、尋優(yōu)效率和更快的收斂速度，表明 MAOA 在保證開拓能力的同時也能充分保證搜索能力，不失種群多樣性和尋優(yōu)穩(wěn)定性。對于函數(shù) f5 和 f8，雖然 MAOA 與其他改進算法一樣，陷入局部最優(yōu)難以跳出，但 MAOA 的平均收斂曲線均位于 5 種改進算法平均收斂曲線下方，且達到理論精度所需的迭代次數(shù)最少。綜合表 3 的仿真實驗結(jié)果和圖 2 的平均收斂曲線圖，可以得出本文所提 MAOA 的有效性，雖然在函數(shù) f5 和 f9 上 6 種算法的搜索精度差距不顯著，但總體來看，MAOA 擁有更強的綜合尋優(yōu)能力。

　　3.4 與其他最新元啟發(fā)式算法對比分析

　　為驗證 MAOA 的優(yōu)越性和魯棒性，本文將 MAOA 與黑猩猩優(yōu)化算法(ChOA)[5]、被囊群算法(TSA)[6]、哈里斯鷹優(yōu)化算法(HHO)[7]、均衡優(yōu)化算法(EO)[8]、以及最新改進的均衡優(yōu)化算法(CfOEO)[12]、改進蝴蝶算法(LBOA)[15]進行比較，其中 LBOA 的實驗數(shù)據(jù)來源于文獻[16]，并復現(xiàn)文獻[12]的實驗，采用與所選文獻相同的實驗參數(shù)設(shè)置(種群規(guī)模 30，最大迭代次數(shù) 500)，對于每個基準測試函數(shù)的搜索維度分別設(shè)置為 30/100/500，獨立運行 30 次，記錄其平均值和標準差，結(jié)果如表 4 所示(“—”為缺失數(shù)據(jù))。由表 4 可知，對于所選的基準測試函數(shù)，無論是單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，MAOA 的尋優(yōu)穩(wěn)定性和求解精度是 6 種算法中最好的。對于函數(shù) f1~f4、f6~f7 和 f11~f12，5 種對比算法求解精度低或無法求解時，MAOA 與 CfOEO 算法求解效果達到100%，可以尋到理論最優(yōu)值。當求解函數(shù) f5時，盡管 MAOA 同其他算法一樣陷入局部最優(yōu)，但是其尋優(yōu)精度優(yōu)于其他 5 種對比算法。當維度從 30 維上升到 100 維再上升到 500 維時，算法對求解精度和魯棒性均有不同程度下降，這是因為隨著維度的增加，算法搜索空間增大，其難度也呈指數(shù)增加，尋優(yōu)過程需要更多計算，但是相較于 5 種對比算法，MAOA 尋優(yōu)精度仍最高。因此，MAOA 在求解低維和高維問題時，優(yōu)勢明顯，搜索能力強，穩(wěn)定性好，尋優(yōu)精度高，進一步說明了 MAOA 在解決現(xiàn)實生活中復雜的優(yōu)化問題時具有顯著的競爭優(yōu)勢。

　　3.5 MAOA 求解 CEC2014 測試函數(shù)問題

　　為了更進一步驗證 MAOA 處理具有復雜特征的問題時的有效性和穩(wěn)定性，本文選取部分具有復雜特征的 CEC2014 測試函數(shù)進行優(yōu)化求解，所選取的函數(shù)類型包括單峰、多峰、混合、復合，其詳細信息如表 5 所示。本文選用 MAOA 與 AOA、ChOA、TSA、HHO 算法、EO 算法、CfOEO 算法來優(yōu)化 8 個 CEC2014 測試函數(shù)。為了保證實驗的公平性，設(shè)置空間維度為 30，最大迭代次數(shù)為 1000，每個算法分別獨立運行 30 次，結(jié)果如表 6 所示。由表 6 可知，EO 算法在單峰函數(shù) CEC03 上表現(xiàn)最好，而 MAOA 尋優(yōu)精度低于標準 AOA，這是因為局部混沌搜索策略在多種混沌映射上需要進行更多的計算，造成收斂精度有所下降。對于多峰函數(shù) CEC05、CEC12，MAOA 尋優(yōu)性能排名第一，同時在 CEC16 上，ChOA、HHO 算法、EO 算法和 MAOA 算法尋優(yōu)精度并列第一。對于混合函數(shù) CEC19， MAOA 求解精度更加接近理論最優(yōu)值。在復合函數(shù) CEC23、 CEC27 和 CEC28 上，MAOA 的標準差為 0，說明其對于復合特征函數(shù)尋優(yōu)穩(wěn)定性強。上述 CEC2014 測試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果分析表明，MAOA 在求解具有復雜特征的函數(shù)上同樣具有很大優(yōu)勢，進一步表明 MAOA 融合隨機高斯變異策略、局部混沌搜索策略、非線性動態(tài)密度降低因子和 Levy 飛行引導機制的黃金正弦策略的有效性和可行性。

　　4 基于 MAOA 的機械設(shè)計優(yōu)化

　　優(yōu)化問題作為工程設(shè)計與應(yīng)用領(lǐng)域中經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)值約束問題，傳統(tǒng)的機械方法如梯度法，不僅求解效率低，容易陷入局部極值，而且難以解決非線性甚至高維的數(shù)值優(yōu)化問題。區(qū)別于傳統(tǒng)方法，本文試圖將所提的新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法 MAOA 用于求解機械設(shè)計問題，進一步驗證所提算法的適用性和可行性。

　　4.1 機械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型

　　機械優(yōu)化問題與數(shù)學模型有著緊密的聯(lián)系。構(gòu)造優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型的關(guān)鍵是找到設(shè)計變量、目標函數(shù)以及約束條件。該問題的數(shù)學模型一般可以描述為如下約束優(yōu)化問題[17]: min max u Minimize ( ) ( ) 0, ,2 , Subject to ( ) 0, 1,2 , , 1,2 , 1 v i f x g x u m h x v p x x x i n ? ? = ? ?? = = ??? ? ? = ? (23) 其中：x 為設(shè)計變量，x=x1，x2，x3…xn?f(x)為目標函數(shù)，gu 表示第 u 個不等式約束，hv 表示第 v 個等式約束，xmin 和 xmax 分別表示設(shè)計變量的上下界。

　　4.2 機械優(yōu)化設(shè)計仿真實驗參數(shù)設(shè)置

　　本文利用 MAOA 優(yōu)化 2 個機械設(shè)計問題，它們分別為拉伸/壓縮彈簧設(shè)計問題和焊接梁設(shè)計問題。仿真實驗將 MAOA 與 AOA、引力搜索算法(GSA) [18]、粒子群算法(PSO)、生物地理學優(yōu)化算法(BBO) [19]、差分進化算法(DE) [20]、蟻群優(yōu)化算法(ACO) [21]、樽海鞘群算法(SSA) [22]、鯨魚優(yōu)化算法 (WOA) [23]、帝王企鵝優(yōu)化算法(EPO)[24]、斑鬣狗優(yōu)化算法 (SHO)[25]、灰狼優(yōu)化算法(GWO)[26]、多元宇宙優(yōu)化算法 (MVO)[27]、ChOA、TSA、HHO 算法進行實驗比較。為了保證對比實驗的公平性，與選取文獻測試條件一致，設(shè)置種群大小為 50，最大迭代次數(shù)為 1000，每個算法獨立運行 30 次后取平均值

　　4.3 拉伸/壓縮彈簧優(yōu)化設(shè)計案例

　　如圖 3 所示，拉伸/壓縮彈簧設(shè)計問題的優(yōu)化目標是降低彈簧的重量。約束條件包括受到最小偏差(g1)、剪切應(yīng)力(g2)、沖擊頻率(g3)、外徑限制(g4)以及決策變量包括線徑 d、平均線圈直徑 D 及有效線圈數(shù) P，f(x)為最小化彈簧的重量。拉伸 /壓縮彈簧設(shè)計的數(shù)學模型描述為設(shè) x=[x1 x2 x3]=[d D N] ( ) ( ) 2 1 2 3 3 2 3 1 4 1 2 2 1 2 2 3 4 2 1 1 1 1 3 2 2 3 1 2 4 1 2 2 3 ( ) 2 ( ) 1 0 71785 4 1 ( ) 1 0 12566 5108 140.45 ( ) 1 0 ( ) 1 0 1.5 0.05 2.0,0.25 1.3,2.0 15.0

　　由表 7 可知，MAOA 可以取得優(yōu)于或接近于其他對比算法的彈簧重量，可以合理地認為 MAOA 在優(yōu)化拉伸/壓縮彈簧機械設(shè)計問題上是適用的。

　　4.4 焊接梁設(shè)計案例

　　焊接梁設(shè)計是在 4 個決策變量和 7 個約束條件下，以最小化焊接梁的總費用為優(yōu)化目標。決策變量分別為焊縫厚度 (h)、鋼筋連接長度(l)、鋼筋高度(t)和鋼筋厚度(b)，其結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計示意如圖 4 所示。

　　其中：τ 為剪切應(yīng)力、σ 為橫梁彎曲應(yīng)、Pc 為屈曲載荷、δ 為橫梁撓度，f(x)為最小化設(shè)計費用。表 8 是 MAOA 與其他算法獲得最小化設(shè)計費用的比較結(jié)果。根據(jù)表 8 給出的 MAOA 與其他算法優(yōu)化焊接梁機械設(shè)計的結(jié)果， MAOA 獲 得 的 函 數(shù) 最 優(yōu) 解 為 [x1,x2,x3]= [0.2014,3.2524,9.0357,0.2058,1.6964]，最優(yōu)值 f(x)=1.6964，表明 MAOA 能獲得最小化焊機梁設(shè)計費用，其有效性優(yōu)于其他對比算法。

　　4.5 機械設(shè)計優(yōu)化案例小結(jié)

　　通過拉伸/壓縮彈簧設(shè)計和焊接梁設(shè)計的案例驗證，所提 MAOA 可以獲得優(yōu)于其他對比算法的實驗結(jié)果，進一步驗證 MAOA 在實際工程應(yīng)用問題中的有效性和適用性。

　　5 結(jié)束語

　　為改善標準 AOA 的缺陷，本文提出多策略協(xié)同改進策略的阿基米德優(yōu)化算法(MAOA)。首先，利用隨機高斯變異策略提高算法在全局探索階段的搜索效率;其次，對種群在局部階段聚集程度進行分析，引入局部混沌搜索策略，擴大算法搜索空間，有助于算法在已探索的區(qū)域?qū)ふ业礁鼉?yōu)解;同時，對標準 AOA 的密度降低因子進行分析，在此基礎(chǔ)上提出非線性動態(tài)密度降低因子，彌補算法平衡全局勘探和局部開采能力的不足;最后，采用 levy 飛行引導機制的黃金正弦策略，對種群位置進行擾動更新，不僅增加群體位置的多樣性，而且增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。

　　第 1 組不同策略在基準測試函數(shù)上的仿真實驗表明，與標準 AOA 相比，所提 4 個改進策略均達到很好的效果，融合 4 個改進策略后的 MAOA 在收斂精度和速度上均有顯著的優(yōu)勢。

　　第 2 組與最新的元啟發(fā)式算法在不同維度上進行基準測試函數(shù)仿真實驗，實驗結(jié)果表明 MAOA 具有明顯的尋優(yōu)優(yōu)勢，同時在處理高維問題上保持較好的尋優(yōu)性能和魯棒性。

　　第 3 組是基于部分 CEC2014 復雜特征函數(shù)的測試，與 6 種最新的元啟發(fā)式算法相比，MAOA 具有較強的競爭力。

　　第 4 組實驗通過優(yōu)化兩個機械設(shè)計案例，驗證了 MAOA 在實際問題中的適用性和可行性，為解決復雜的工程約束問題提供了一條新途徑。

　　下一步的研究方向是把改進算法運用到多閾值圖像分割和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等領(lǐng)域。