基于虛擬制備的金屬橡膠各向異性本構特性研究

　　摘要：金屬橡膠是一種各向異性的多孔材料，其本構特性?？咳斯そ涷灮蛟囼灚@得，內部復雜的螺旋網狀結構無法通過測試手段弄清機理。為此，運用虛擬制備技術與數值動態重構等手段，深入探究金屬橡膠內部空間幾何拓撲結構和彈簧微元間接觸摩擦機理，結合掃描電子顯微鏡(Scanning electron microscope，SEM)中材料的微觀形態進一步解釋金屬橡膠在宏觀上的各向異性力學行為。通過引入彈簧微元組合概率分布以及空間局域性孔隙分布的概念，有效表征金屬橡膠材料內部彈簧微元無序式網格互穿結構。充分考慮金屬橡膠細觀上的空間拓撲結構與微觀摩擦機理參量，以及包含了材料形狀、相對密度、金屬絲直徑、螺旋卷螺距、金屬絲彈性模量等宏觀制備參數，構建能夠反映金屬橡膠細觀結構特征與宏觀性能相一致的各向異性本構模型。通過與材料準靜態壓縮試驗結果對比分析，采用殘差分析定量驗證。結果表明，提出的金屬橡膠各向異性的本構模型，能夠有效地反映與預測金屬橡膠材料的復雜各向異性力學行為，為材料的深入研究與應用普及提供一定的理論指導。

　　關鍵詞：金屬橡膠;各向異性;數值動態重構;空間幾何拓撲;微觀摩擦機理

　　任志英; 方榮政; 陳小超; 沈亮量; 白鴻柏; 林有希， 機械工程學報 發表時間：2021-11-17

　　0 前言

　　金屬橡膠是一種彈性多孔金屬基材料，能夠克服傳統高分子橡膠材料易老化、溫度等環境適應性差等缺點，已經是航天、航空、航海裝備及兵器、地面突擊裝備等國防高技術領域急需的關鍵減振降噪材料[1-2]。同時金屬橡膠又是一種內部結構復雜、制備工藝繁瑣的阻尼減振材料，如圖 1 所示。金屬橡膠材料的制備工藝流程包括了三個部分，前處理階段主要是將繞制、定螺距拉伸制成的金屬絲螺旋卷，而毛坯成形階段則采用纏繞或編織等工藝制備成金屬橡膠毛坯，最后一部分是將毛坯放入特制模具中進行冷沖壓成形，如圖 1c 所示。為了進一步改善材料力學性能，通常還采用基于回火工藝的熱處理等后處理[3]。

　　復雜的制備流程使得金屬橡膠內部結構呈現出無序網格勾連交錯分布狀態，在宏觀上呈現出材料的各向異性本構行為。目前關于金屬橡膠材料本構機理研究方法主要有基于試驗的數據分析與基于數值模擬的等效模型。RODNEY 等[4]通過力學試驗與離散元模擬相結合，分別研究了基于銅、形狀記憶合金和聚酰胺等材料研制的金屬橡膠泊松函數關系。YANG 等[5]結合材料動力學試驗，通過提出了截面畸變系數評價振動可靠性，研究環形金屬橡膠在循環動載荷下的振動可靠性特征和阻尼性能。但該方法需要大量的試驗數據支撐，對試驗過程的穩定性十分敏感，為此，學者們開始采用仿真手段解釋材料的本構機理。LI 等[6]以多孔材料為基礎，結合小曲梁模型建立了金屬橡膠非線性本構關系。曹鳳利等[7]對金屬橡膠內部彈性微元的空間運動模式與變形模式進行分析，基于懸臂曲梁模型建立了包含材料基本結構參數、細觀特征參數的金屬橡膠本構模型。朱彬等[8]根據不同的接觸狀態，分別建立了橫向和縱向排列的彈簧微元體金屬橡膠遲滯特性的本構模型。XUE 等[9]對金屬橡膠內部的彈簧微元分布角度進行了正態分布假設，在此基礎上通過懸臂曲梁模型研究了金屬橡膠的遲滯特性與變剛度力學特性。當前研究主要是金屬橡膠的成形向，關于非成形向的本構特性研究較少。只有國內學者曹鳳利等[10]依據金屬橡膠非成形向變形的主要特征，通過二維曲梁的動態形變原理與材料內部的接觸點分布規律，建立金屬橡膠非成形向的力學模型。XUE 等[11]基于金屬橡膠的纏繞與編織工藝，通過準靜態與動態試驗對材料的各向異性行為進行分析討論。

　　綜上所述，現有關于金屬橡膠材料的本構機理研究多采用等效模型，或單一規律性的橫/縱向分布的彈簧微元結構，無法詮釋材料受載時錯綜無序排布結構變化情況，更無法有效反映出金屬橡膠的宏觀力學性能。且現有的微觀接觸力學模型嚴格意義上屬于準靜態范疇，難以準確地描述復雜螺旋網狀結構彈簧微元間各接觸點的應力、應變、接觸點分布等隨著外力作用后，彈簧微元相互接觸滑移、擠壓及變形時的動態演化過程，同時絕大多數模型都是圍繞成形方向的本構特性[12]，因而不能對于金屬橡膠各向異性的本構特性做出全面準確的預測，很大程度限制了該材料的進一步推廣應用。

　　為此，本文以纏繞加工方式制備的空心圓柱金屬橡膠為研究對象，建立綜合考慮金屬橡膠各向異性、材料屬性、彈簧微元幾何尺寸及纏繞工藝參數等因素的螺旋網狀結構有限元模型，探究材料在各向動態效應下彈簧微元的空間幾何拓撲關系以及荷載作用下的接觸摩擦演化規律，構建從微觀角度能有效反映金屬橡膠內部彈簧微元細觀接觸摩擦參數與宏觀制備參數的材料各向異性本構模型，為制備金屬橡膠提供一定的理論依據。

　　1 金屬橡膠各向異性力學行為研究

　　1.1 金屬橡膠細觀形貌結構與宏觀力學行為研究

　　為深入研究金屬橡膠各向異性的力學性能，采用 SEM 觀察材料在不同方向上呈現出的細觀紋理，如圖 2 所示。金屬橡膠在成形向上彈簧微元排布致密均勻，其彈簧微元間主要是群聚性規律的重疊結構;而非成形向上的金屬橡膠彈簧微元結構紋理相對稀疏，在空間上主要是彈簧微元纏繞交錯的特征。金屬橡膠在結構上的各向異性直接導致了在宏觀力學性能也存在著顯著的差異性。圖 3 為在成形/非成形向對金屬橡膠進行準靜態加卸載試驗得到的材料遲滯曲線。結果表明與金屬橡膠在成形方向上受迫運動所呈現的高度非線性剛度行為相比，材料非成形向的平均剛度明顯大于成形方向，還是一種準線性的剛度行為特征。但是 SEM 僅僅觀察到了金屬橡膠的表面形貌，內部結構卻無法獲得，為此，本文將采用虛擬制備技術構建具有復雜螺旋網狀結構的金屬橡膠有限元模型，從最大程度上還原多孔無序結構，實現對材料各向異性特性的探索。

　　1.2 復雜螺旋網狀結構金屬橡膠有限元模型

　　1.2.1 金屬橡膠虛擬制備技術

　　從圖 1 可知，金屬橡膠的制備工藝主要采用纏繞或編織技術形成毛坯，然后將其放入特定的模具中進行沖壓成形。其中常見的纏繞工藝，主要將彎曲螺旋卷按一定的制備參數繞著模具的芯軸進行纏繞制備。以毛坯的纏繞工藝為基礎，假設單根彎曲螺旋卷的旋轉軸線A 是一條圓柱螺旋線，則方程為 1 2 1 0 cos sin [ , ] ( ) X R Y R Z Z ? = ? ? = ∈ ? ? = −+ ψ ψ ψ ψψ ρψ ψ (1) 式中，ψ 為參數， 1 2 ψ ∈[, ] ψ ψ 為ψ 的取值范圍， R 為旋轉軸線A的半徑，Z0為 Z 軸起始點坐標。

　　在 A 的起始點 1 10 ( cos , sin , ) R RZ ψ ψ 處建立初始局部坐標系 11 11 oxyz ，其 1z 軸的單位方向向量在全局坐標系下的描述為 1 1 0 1 11 12 13 22 22 22 000 sin cos (, , ) , , R R Z zzz RZ RZ RZ ? ? − = = ? ? +++ ? ? ψ ψ λ (2) 通過引入旋轉矩陣 C，將初始局部坐標系 1 x 軸， 1 y 軸的單位方向向量在全局坐標系下進行表征 cos sin 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 sin cos 0 0 0 01 0 0 0 1 C ? ?? ? ? ?? ? − = − ? ?? ? α α αα β β β β (3) 式中， 0 1 2 2 0 arccos(cos ), arccos Z R Z ? ? = = ? ? ? ? + ? ? α ψβ 。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 123 1 123 , , ,1 1,0,0,1 , , ,1 0,1,0,1 xxx yyy − − ? = ? ? ? = ? C C (4) 便得到了初始局部坐標系單位方向向量在全局坐標系中的描述。最后將全局坐標系原點和單位方向向量在初始局部坐標系下表述為 00 0 (,, ) uvw , (,, ) x x x uvw ,(,, ) yy y uvw ,(,, ) z z z uvw 。至此，通過螺旋卷不斷自轉的同時，其局部坐標系也沿著旋轉軸線旋轉移動使其不斷更新迭代，從而得到了單根金屬橡膠螺旋卷的全局坐標參數(圖 4a)。

　　基于上述方法按照一定的金屬橡膠毛坯螺旋卷纏繞規則生成一系列的螺旋卷后，引入非經典摩擦理論下罰函數算法[13-14]，完成了從金屬橡膠毛坯制備到沖壓成形的制備流程，見圖 4b 和圖 4c，最終虛擬仿真了整個纏繞制備工藝流程，構建了金屬橡 膠復雜網狀結構的幾何模型與有限元模型。

　　從圖 4c 中可以清楚地看到通過虛擬制備技術的金屬橡膠有限元模型，能夠有效地反映金屬橡膠內部彈簧微元真實結構形貌。根據紋理特征，當前學者們常常假設金屬橡膠彈簧微元的受載是成軸向或徑向[8]，見圖 4d，但這與實際上材料內部微元在幾何拓撲關系中的呈一種空間角度隨機分布的復雜形式相違[15]。為深入研究更為合理的金屬橡膠材料各向異性的本構模型，本文將對金屬橡膠有限元模型進行加卸載，觀察內部細觀的動態演化過程，以獲得其內部空間幾何拓撲關系及各彈簧微元間的接觸現象。

　　1.2.2 金屬橡膠內部彈簧微元空間幾何拓撲關系

　　結合彈簧理論與卡式定理[16-17]得到僅承受軸向或徑向載荷微元彈簧的剛度表達式分別為式中，K1 是軸向微元彈簧的剛度;K2 是經向微元彈簧的剛度;F 為軸向載荷; Fr 為徑向載荷; ΔZ 為軸向形變; ΔR 為徑向形變;L 為微元彈簧中徑，d 為金屬絲材料直徑，E 為材料彈性模量，r 為泊松比， α 為微元彈簧螺旋角。

　　根據式(5)推算出軸向/徑向載荷的彈簧微元的應力與應變關系，如圖 5 所示。

　　由圖 5 可知，不同載荷方向上螺旋卷微元彈簧所呈現出的應力與應變大相徑庭，僅受軸向載荷的微元彈簧由于螺旋卷自身的承載形變，在一定應變下剛度變化幅度較小;而承受徑向載荷的微元彈簧在呈現出大剛度現象的同時，徑向剪切作用使得剛度隨著應變的增大呈現小幅度的增長。然而從圖 2 和圖 4c 中的紋理可知，金屬橡膠形成的彈簧微元在結構中的位置并不是成 90°或 180°，而是具有一定的空間隨機性，見圖 6。

　　為此，本文在式(5)的基礎上引入空間任意角度 ? ，即微元彈簧軸線方向與笛卡兒坐標系 Z 軸方向所夾銳角，建立考慮微元的空間分布的微元彈簧剛 度模型為根據式(6)可以得到隨著空間分布角度? 的變化，彈簧微元在成形向或非成形向載荷作用下的剛度特性曲線。其中圖 7 為彈簧微元在成形向載荷作用下的剛度特性曲線。由圖 7 可知，隨著分布角度? 的不斷增大，剛度呈遞增趨勢，且非線性遞增，這是因為剪切分力增大使得微元所受壓縮荷載變小，使得分布角度較大微元體呈現的剛度較大。因此，不同空間分布角度的微元彈簧具有不同的力學性能，這也是造成金屬橡膠材料各向異性的一個重要因素。

　　為進一步研究金屬橡膠宏觀上的本構特性，對虛擬制備而成的金屬橡膠幾何模型內的微元彈簧按照空間任意角度進行分類，其中分布角度? 分為0～ 30°、30°～60°和 60°～90°這三類，同時為觀察這三類角度分布微元在載荷作用下隨時間演變情況，對金屬橡膠內部微元彈簧單元進行動態提取，實現材料內部的幾何拓撲行為的定量追蹤，以表征金屬橡膠內部的真實彈簧微元分布特征，如圖 8 所示。

　　從圖 8 可知，成形后的金屬橡膠內部微元彈簧分布角度 0～30°占最大比例，這與圖 2 中的 SEM 紋理角度基本一致，同時無論是成形向還是非成形向，其沖壓成形后的金屬橡膠微元彈簧空間幾何拓撲結構已經基本定型。從實線表示的成形向可知，在持續加載下(0～4 s)，30°～60°與 60°～90°的彈簧微元數量在變少，呈 0～30°角度逐漸變多，隨著卸載過程(4～8 s)又出現了由于彈性回彈的還原現象;而非成形在外載作用后的微元彈簧變化關系則相反，且每種角度占比變化率更大，這是由于金屬橡膠在非成形向上的彈簧微元分布結構相對無規則、間隙大所導致的。另外，0～30°與 30°～60°的空間角度所占是主要比例，使得成形向的微元軸向分力大，而非成形向的徑向剪切分量更大，在宏觀上所體現出非成形向的剛度變大。

　　1.2.3 金屬橡膠彈簧微元接觸摩擦形態演化規律

　　為探究金屬橡膠內部彈簧微元在外力作用下的細觀接觸演變規律，精確描述金屬橡膠彈簧微元間的隨機摩擦接觸特性，本文采用小球算法與禁忌搜索算法，以微元化后的金屬絲段質心為圓心，以接觸閾值 Δ 為半徑，創建接觸小球，通過模型加卸載過程中，各小球間的接觸碰撞來判斷金屬橡膠彈簧微元間的接觸點數量。采用超維度空間矩陣存放加卸載中發生碰撞接觸的小球空間坐標參數;使用禁忌搜索算法的局部鄰域搜索機制和禁忌準則來避免迂回搜索，進而實現彈簧微元間接觸點的有效搜索并實時存放線接觸數據。

　　其中接觸閾值 Δ 的設定(這里選擇取閾值 Δ 為 1.1 倍的金屬絲直徑，即 0.165 mm)對于模型中金屬絲微元段的搜索精度至關重要(因為過大的微元劃分會降低搜索精度，而過小的微元化分會造成大量重復搜索)，本文中接觸小球的半徑取接觸閾值的 1/2。設模型中金屬絲螺旋卷根數為 n，通過搜索 n-1 根金屬絲螺旋卷建立解空間集合 S S = {π1, , " π nn } (7) 式中，π 為每一根金屬絲螺旋卷的空間微元集合， nn n = −1。

　　通過以解空間集合 S 中的金屬絲微元段質點為圓心，根據接觸閾值設定半徑創建接觸小球模型，將每一根金屬絲螺旋卷的接觸小球分別與空間集合中的其他根金屬絲螺旋卷的接觸小球進行目標函數的計算，并將每一次計算的目標函數值與設定的接觸閾值進行比較，判斷小球是否發生了接觸，從而得到偽最優值γ ，并放入候選集合內，將搜索完畢的金屬絲放入禁忌區間，避免重復搜索從而減少搜索時間。

　　在每一次的迭代更新中將候選集中滿足式(10) 的偽最優解存入禁忌列表，進而更新候選集，得到最優解集γ ′ 。通過上述不斷迭代更新候選集，排除線接觸的干擾，最終得到在某時刻模型的接觸點數量。

　　加載后的金屬橡膠內部彈簧微元間存在徑向擠式中，Di jt , , 為前一時刻接觸點的相對位移， ,, 1+ ′ Di jt 為后一時刻接觸點的相對位移。

　　彈簧微元接觸點運動形態判斷標準 D D i jt i jt ,, ,, 1 ′ = + (13) 在每一次接觸形態的判斷中，若式(13)成立，則接觸對為徑向擠壓;否則接觸對為滑移摩擦。

　　至此，在有限元模型基礎上，采用小球算法與禁忌搜索算法對金屬橡膠內部彈簧微元的細觀接觸進行了深入探究。通過彈簧微元的接觸判定獲得了金屬橡膠內部的空間接觸點動態分布圖，如圖 9、10、11、12 所示。其中 9、10 為成形向標， , , j j j x y z 分別表示空間幾何中備選金屬絲螺旋卷中待搜索的小球圓心坐標，jj 為第 k 根接觸小球總數。

　　通過每一根金屬絲螺旋卷搜索過程中目標函數與接觸閾值的比較，將符合條件的偽最優值γ 暫存入候選集中，然后精確定位其接觸小球的圓心坐標，以便進一步的接觸點的實時更新 Fk ij (π , )≤Δ (9) 將等間距連續序號的偽最優候選點分別與從禁忌區域中重新調出的接觸小球進行比較：若不同金屬絲間相對應位置的連續接觸小球同時滿足目標函數，則該范圍內的接觸被視為線接觸壓與滑移摩擦兩種摩擦狀態。為了動態追蹤受載過程中金屬橡膠內部彈簧微元間的摩擦狀態，本文在預估出接觸點數量的基礎上，利用超維度空間矩陣實時定位存放接觸點的空間坐標并進行一系列的動態追蹤，即將某一時刻的接觸點空間坐標作為一系列三維矩陣存放，將時間變量作為第四維度從而解決金屬橡膠彈簧微元間接觸點摩擦狀態的動態變化過程。

　　通過空間矩陣中相鄰時間內接觸小球的相對位移來判定彈簧微元間接觸點的運動形態所有金屬絲與單根彈簧微元的接觸點分布圖，而 11、12 為非成型向所有金屬絲與單根彈簧微元的空間接觸分。(a)～(c)為加載階段，(d)為卸載終止時刻。可知：在初始空間接觸狀態一致的基礎上，同一大小外載作用下，成形向的金屬橡膠接觸點在 Z 軸方向上發生了空間偏移，接觸點數量顯著上升;而非成形向的金屬橡膠內部接觸點在時間序列上呈現出相對稀疏零散的狀態分布。特別地是，從圖中單根彈簧微元的軌跡路線中可以看出相比于成形向金屬橡膠內部致密連續的接觸狀態，單彈簧微元的空間接觸軌跡在非成形向上的分布顯得錯落無序。

　　由于非成形向的大剛度特性，使得材料在同等荷載作用下較難進一步的擠壓作用，接觸點數量變化相對較小。為直觀分析金屬橡膠內部接觸點隨外載作用后的變化趨勢，對接觸點進行統計，如圖 13 所示。這與圖 9、10、11、12 的趨勢基本一致。金屬橡膠各向異性的力學性能不僅與接觸點數有關，還與接觸摩擦方式密不可分，通過統計各彈簧微元的接觸形式比例，分析其在宏觀上的力學特性，見圖 14。

　　從圖 14 可以清晰地看出，在外載作用下，成形向彈簧微元間的未接觸對比例減少，接觸滑移對占比在小幅度增加后逐漸降低，卸載后又出現了回增現象;另外成形向的彈簧微元間由于金屬絲之間的 “鎖死”狀態而產生的擠壓對比例逐漸增加，并且在卸載后呈現出松弛回彈的現象。于此同時，還可以看出無論在何階段，成形向金屬橡膠彈簧微元間的接觸區域摩擦滑移占據著大部分比例，這也是材料在成形方向上由于彈簧微元間的滑移摩擦造成其剛度非線性的重要因素。相比于成形向，非成形向的未接觸對比例較高。較多的未接觸微元彈簧需通過彈簧微元間的間隙調整來實現抵抗外力作用，同時滑移摩擦對占比呈現大幅度降低，更多的是轉化為彈簧微元間疊加作用所引起的互鎖擠壓情況。這種交錯勾連的空間幾何拓撲結構，產生了彈簧微元自身徑向剪切的大剛度，使得彈簧微元間由于空間干涉約束產生的滑移摩擦現象不顯著，極大程度上依賴于材料內部的“鎖死擠壓”作用，因而使得金屬橡膠在非成形向上體現出“大剛度”的本構特性。

　　通過對金屬橡膠內部彈簧微元接觸方式的研究以及對不同荷載方向下金屬橡膠螺旋卷微觀運動學行為的首次提出，很好地解釋了金屬橡膠非成形向本構關系中大剛度與準線性行為。其彈簧微元間的接觸模型以及受力分析圖如圖 15 所示，相較于金屬橡膠在成形方向上彈簧微元間的接觸方式由未接觸 -接觸滑移-擠壓逐漸演變，在非成形向材料彈簧微元間的運動學行為主要表現為在彈簧微元對接觸摩擦比例大幅度降低的同時，通過間隙收攏與彈簧微元間同步交錯擠壓的細觀機理。

　　結合圖 15 中的摩擦形態模型，根據金屬橡膠內部彈簧微元間不同接觸形態變化，引入材料摩擦因數，分別得到未接觸、接觸滑移以及擠壓的微元組等效接觸剛度[17]式中，f 為金屬絲材料的摩擦因數，?1 、?2 分別為微元對不同載荷方向下的空間分布角度。

　　從式(14)～(16)中可以看出空間分布分別為 ?1 、?2 的微元彈簧對在不同接觸摩擦狀態下產生的等效接觸剛度不同。在金屬橡膠內部彈簧微元的空間幾何拓撲關系中，微元間的空間分布呈現出隨機組合的概率分布特點，即不同空間角度分布與不同摩擦形態的復合疊加效應。為此，本文通過不同空間角度微元彈簧與微元組間不同接觸形態的隨機組合概率疊加，以極大程度上逼近于金屬橡膠內部彈簧微元間真實的勾連無序復雜螺旋網狀結構。則基于微元彈簧空間組合概率分布的等效剛度表示為式中，n1(ε), n2(ε), n3(ε)分別為金屬橡膠內部微元彈簧在形變中的小/中/大角度分布占比; , ( ) ηi j ε 為第 i, j 根微元組合的概率分布， , ( ) 2 i j i j i j nn i j nn i j ? ⋅ = ? = ? ? ⋅⋅ ≠ ? η ε ; ε 為載荷作用方向應變。

　　2 基于虛擬制備的金屬橡膠各向異性本構關系

　　在上述研究中，本文探究了金屬橡膠在各向荷載作用下內部微元的空間幾何拓撲關系以及微元間的動態接觸摩擦規律。在此基礎上，本文將材料內部各向異性的兩項細觀結構參數作為重要變量引入，耦合金屬橡膠材料形狀、相對密度、金屬絲直徑、螺旋卷螺距、金屬絲彈性模量等宏觀制備參量，構建金屬橡膠各向異性本構關系模型。假設垂直于成形方向的單位面積上有 L(ε)個微元彈簧，在單位長度上有 m(ε)層彈簧，則每一層單位面積的總剛度 () () () 1 2 3 () () () () () () 11 1 ( ) NL N L N L L ijk KKKK ⋅ ⋅ ⋅ == = =+ + ∑∑∑ ′ ′′ ′′′ εε εε ε ε ε εεε (20) 式中， NN N 12 3 (ε ), , (ε ε ) ( ) 分別為未接觸微元彈簧對占比，接觸滑移微元彈簧對占比與擠壓微元彈簧對占比，且 NNN 123 (εεε ) + ( )+ 1 ( ) = 。 假設各層之間的微元彈簧為串聯關系[18]，則金屬橡膠總等效剛度為金屬橡膠本構關系與材料形狀參數密切相關，故引入形狀因子 C，以探究不同形狀參數對金屬橡膠本構關系的影響;同時為進一步表征金屬橡膠在不同荷載作用下的內部線匝的致密程度以及不同空間區域的滑移/擠壓效率，在這項模型中提出了材料局域空間孔隙分布的概念

　　式中，C 為形狀因子，C=L/A，L 為金屬橡膠高度， A 為金屬橡膠垂直于成形方向橫截面積; , , ( ) i ii Pxyz ε 為不同方向下金屬橡膠內部局域性孔隙分布占比， i l 為線匝軸線長度， , , i ii x y z 分別表示材料內部局部區域空間坐標。聯立式(24)～(26)得到

　　至此，通過探究在不同方向載荷作用下金屬橡膠內部彈簧微元的分布及接觸形式，最終得到金屬橡膠各向異性本構關系，其中 KK K ′ ′′ ′′′ ( ), ( ), ( ) ε ε ε 分別為基于材料細觀拓撲結構與摩擦機理隨機組合概率下的未接觸、接觸滑移以及擠壓狀態的微元對等效剛度，是在細觀結構中表征金屬橡膠材料各向異性特征的重要參量。

　　3 試驗驗證

　　3.1 樣品制備

　　為驗證本文所提出的基于虛擬制備技術的金屬橡膠各向異性本構模型的準確性，進行不同形狀(圓環形/方形)金屬橡膠樣品的制備，表 1 是制備工藝參數表，其工藝參數與虛擬制備一致，最終獲得不同形狀的樣品，如圖 16 所示。從圖 16 可以清晰地觀察到基于虛擬制備工藝的幾何模型，其紋理與實際制品呈現出高度的一致性。同時，無論是環形試件還是方形試件，金屬橡膠表面形貌均呈現空間各異的角度分布，其不同的細觀結構對材料的宏觀力學特征有著重要的影響。

　　3.2 模型驗證

　　為進一步驗證本文所構建的本構模型，采用準靜態壓縮試驗，在金屬橡膠的成形方向與非成形方向上分別施加相同載荷，以探究材料在不同承載方向上的位移-載荷關系曲線。其中準靜態壓縮變形試驗采用 WDW-T200 微機控制電子萬能試驗機，試驗機最大試驗力為 200 kN，橫梁位移量：0～600 mm，移動速度：0.01～500 mm/min，變形分辨率為 0.001 mm。在這項工作中，試驗荷載設置為：金屬橡膠成形向/ 非成形向上 200 N 的力載荷，加載速率：2 mm/min，試驗設備如圖 17 所示。最終不同形狀金屬橡膠在不同方向加載后的力-位移曲線，見圖 18。

　　從圖 18 中可以看出，金屬橡膠在成形向外載作用時，所表征的本構特征存在著明顯的線彈性階段軟特性階段-指數硬化階段的復雜非線性演化過程，而非成形向上的本構關系曲線呈現出顯著的大剛度與準線性特征。同時金屬橡膠的幾何形狀對材料各向異性的本構力學行為影響較大，方形試件由于材料內部線匝的緊密勾連結構，其各向剛度特性均大于環形金屬橡膠。

　　為了避免由于設備測量精度、環境白噪聲等因素干擾而造成的試驗誤差，有效預估這項工作中所提出的模型精度，對結果進行殘差分析。殘差分析是通過模型的實際值與預測值的差值來評價模型精度的有效手段。在殘差分析中模型的有效性是是通過相關指數 R2 進行定量衡量。R2 值越接近 1，模型的預測精度越高，實際變量與預測變量之間的線性相關性越強。

　　式中，RSS 為殘差平方和，TSS 為總平方和，n 為數據采樣個數， i y 試驗觀測值， ˆi y 為模型預估值， y 試驗觀測均值。所研究的金屬橡膠樣品的殘余分析結果如表 2 所示。

　　從圖 18 的曲線吻合度與表 2 中的殘差值 R2 ，均可以看出無論在成形向還是非成形向上，本文所建的本構模型與試驗達到良好的吻合度。因此基于虛擬制備技術的金屬橡膠各向異性本構模型能夠有效預測金屬橡膠在宏觀上的力學性能，還可以進一步闡釋材料的細觀接觸行為機理。

　　4 結論

　　本文通過虛擬制備技術準確重塑了金屬橡膠這種各向異性材料的內部真實空間幾何拓撲結構，在彈簧微元微觀尺度的接觸摩擦機理探究中，解釋了材料各向異性的宏觀力學行為特征，并構建了金屬橡膠各向異性的本構模型。

　　(1) 通過 SEM 深入分析了金屬橡膠彈簧微元結構形貌在不同方向上的分布特點，從細觀與宏觀尺度上詳細討論了材料在結構上的各向異性與其獨特的宏觀力學行為間的關系。

　　(2) 對金屬橡膠進行基于工藝流程參數的虛擬制備，獲得接近真實的有限元模型。提取自適應微元彈簧單元，通過數值重構與動態分解，呈現金屬橡膠內部空間幾何拓撲關系，以及彈簧微元對在細觀尺度上的接觸摩擦形式演化。為進一步闡釋金屬橡膠各向異性的本構關系特征奠定了較好的理論基礎。

　　(3) 引入彈簧微元組合概率分布模式，并提出了金屬橡膠線匝空間局域性孔隙分布的概念，極大程度表征了材料內部的無序散布現象。將金屬橡膠在成形與非成形方向上的空間拓撲結構參量與微觀摩擦參量與材料本構方程進行耦合，以構建出包含形狀、密度、線徑、螺距、金屬絲彈性模量等宏觀參數和彈簧微元空間分布、接觸形態、摩擦因數等微觀參數的本構模型，并通過準靜態壓縮試驗驗證了模型的合理性。