在驗證中數學知識的有效運用

    摘　要：猜想是一種重要的思維方法，它是依據已有的材料或知識經驗，做出符合一定規律的猜測，帶有一定的直覺性，屬于比較高級的思維方式。猜想是否正確還需驗證，在驗證過程中，不斷完善猜想，發揮創造才能，最終總結出規律。筆者在《乘法分配律》這一堂課里，通過實施方案對驗證方法作了一次有益的嘗試。
    關鍵詞：數學；教習；方法
    《乘法分配律》方案一教學片斷：
    師：（出示準備題1：學校購買校服。每件上衣42元，每條褲子40元。買這樣的3套衣服，一共要多少元？）你能解答嗎？請你列式解答。
    學生獨立計算，不一會兒，紛紛舉手請求匯報。
    生1：我的算式：（42＋40）×3。是先算1套衣服要多少錢，再算買3套衣服藥多少錢？
    師：還有其他的方法嗎？
    生2：我有另一種方法：先算買3件上衣和3條褲子的錢，再算3套衣服藥多少錢？算式：42×3＋40×3。
    師：你真聰明！（出示：準備題2：一塊長方形水稻試驗田，長60米，寬25米。周長是多少？）還能用兩種方法解答嗎？
    學生再次列式解答，并很快說出兩種算式的解題思路和思考方法，結合學生回答，教師板書如下：

（42＋40）×3

42×3＋40×3

（60＋25）×2

60×2＋25×2

    師：你從上面的算式中發現了什么規律？
    同學們開始注視黑板，在尋找其中的規律。漸漸地，有學生舉手、開始激動、急著與周圍的同學說了起來……
    師：你們真的發現規律了？把你發現和同桌交流一下吧。
    教室的氣氛一下熱鬧起來，同學之間指點黑板交流了起來……
     評析：通過解決實際問題。學生產生這樣一種體驗，乘法分配律的知識存在于實際問題中；并建立兩組算式，通過觀察算式，便于學生發現新的知識規律。
    師：通過觀察，同學們肯定發現了一些規律，現在老師給你們提供一些算式，根據你剛才的觀察，你覺得這些算式中，哪兩個可以用等號連起來？如果有爭議可以用算的方法來驗證一下。（算式如下：）

（3＋4）×6	3×17＋3×5	20×（5＋3）	（13＋7）×4	（8×6）×2
3×6＋4×6	3×（17＋5）	20×5＋5×3	13×4＋7	8×2＋6×2

    經過同學剛才發現的“規律”，馬上有學生把算式分成了5組，但很快又有人提出了不同意見。
    師：誰來說說你的發現？
    生1：我發現了3組相等的算式：
    （3＋4）×6＝3×6＋4×6
    3×17＋3×5＝3×（17＋5）
    20×（5＋3）＝20×5＋5×3
    生2：我不同意，20×（5＋3）≠20×5＋5×3，我計算過了。
    生3：是的，20×（5＋3）應該等于20×5＋20×3。
    生4：也可以把20和5互換，變成5×（20＋3）＝20×5＋5×3。
    生5：我還發現如果把13×4＋7改成13×4＋13×7就與（13＋7）×4相等；把（8×6）×2改成（8＋6）×2就與8×2＋6×2相等。
    評析：為學生準備了具有挑戰性的探索素材，讓學生在辨析與爭論中完成了猜想與驗證，對乘法分配律形成了清晰的認識。
    總評：教師給學生提供了豐富的感知材料，為學生猜測與驗證、辯論與交流創造了條件。學生通過觀察思考、自主探究、合作交流，對乘法分配律形成了清晰的認識。最后根據學生的理解，師 生共同歸納出什么叫乘法分配律，整個過程水到渠成。
    要形成有意義的猜想，需要直觀的素材作為猜想的支撐。如果缺少直觀的素材，那么是很難形成猜想的，甚至會導致瞎猜。那么對學生的學習思維和情緒產生的負面影響是可想而知的。兩個方案都在學生已有的知識經驗與生活經驗上，經歷了由觀察到猜想的教學過程。處理地比較恰當。但在提高學生的驗證水平和驗證方法多樣化，進行創造性的學習方面。     一、培養學生數學思想和方法
    雖然我們能對很多現象進行猜想，但猜想的結果是否正確需要驗證的。特別是數學識極為嚴謹、精確的科學。在獲得公認之前，都曾有猜想與證明的過程。但由于這一學段的知識能力有限，所以對規律、定理，通常只能通過由一般的例子總結出特殊規律，然后再回到一般的不完全歸納法。
    通過教師提供的幾組算式，在學生的辨析和爭論中完成了猜想的驗證。雖然這時學生因自己的猜想通過驗證而歡欣鼓舞。但教師應該知道像這樣的規律是不能憑幾個例子就被輕易證明的。教師在學生已經獲得乘法分配律感悟的基礎上，利用學生急切想知道自己的猜想是否正確這一心理需要，讓學生通過主動計算舉例、交流。運用大量的例子幫助學生理解規律的普遍現象，進而完成對乘法分配律的歸納和概括，整個過程符合不完全歸納法。這時，學生基本確信自己發現的規律是正確無疑了。可這時教師卻“意外”地拋出了：“可萬一是碰巧，怎么辦？”對學生剛剛獲得的結論提出了質疑，促進了學生探求更高層次驗證方法來完善規律猜想的需要。特別教師引導：“會有這種“萬一”嗎？你能舉一個反例嗎？”激發了學生把自己已有的知識經驗和思維經驗匯集了起來，探尋更高層側的驗證方法——用乘法的意義驗證乘法分配律。實現了驗證方法的多樣化和驗證水平的提高，進一步提高了學生的數學思想和方法。
    二、對知識與技能的掌握
    新課標指導下的教學， 教師對學生在數學學習過程、數學思想方法上加強了關注，但我們僅僅關注學生這一方面的發展是遠遠不夠的。教材中的許多數學知識與技能之間是有聯系的，特別是同一領域中的相關內容聯系更為密切。所以我們的教學要關注學生知識形成的前后聯系，創造新舊知識之間的生長點。幫助學生在新舊知識之間建立聯系，實現學生知識網絡的構建。
    以上是筆者通過《乘法分配律》教學獲得的關于猜想與驗證的一些陋想，還懇請專家與同仁斧正。
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