函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究對象，貫穿于初等教育、中等教育和高等教育各個階段，在各種類型的教育教學(xué)過程中，函數(shù)都是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念之一，但大多數(shù)學(xué)生卻不甚理解函數(shù)這個概念的內(nèi)涵，常常是知其然，不知其所以然．請看下述三例:

例1設(shè){fn(x)}是定義在R上的函數(shù)列，則建立如下映射，g:{fn(x)}→N，fn(x)?→n，即n=g(fn(x))，該映射是函數(shù)嗎?為什么?

例2設(shè)2003數(shù)本班全體學(xué)生構(gòu)成集合A={s1，s2，…，sn}，集合B={(姓名，性別，籍貫，出生日期，政治面貌)}，則建立如下映射，h:A→B，學(xué)生?→(姓名，性別，籍貫，出生日期，政治面貌)，該映射是函數(shù)嗎?為什么?

例3f={(x，y)?x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)?x∈R，y∈R}，試問:f是函數(shù)嗎?為什么?

下面，本人對函數(shù)概念進(jìn)行整理和注解，希望對學(xué)生有所幫助，同時，權(quán)作同行交流探討．

一、函數(shù)概念的介紹

1．產(chǎn)生階段

16世紀(jì)，隨著自然科學(xué)對物體運動研究的深入開展，尤其是對各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關(guān)系的研究，促使數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念．從這個意義上來講，函數(shù)概念來源于現(xiàn)實生活，產(chǎn)生在人們對自然現(xiàn)象的不斷探索過程之中，所以對函數(shù)概念的理解和把握，要充分尊重它的現(xiàn)實意義和實際應(yīng)用．

2．發(fā)展階段

(1)原始概念．“函數(shù)”這個數(shù)學(xué)術(shù)語首先是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲提出來的，他定義的函數(shù)的含義是指關(guān)于曲線上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)以及一些線段(如弦、切線、法線等)的長度．根據(jù)此函數(shù)定義，坐標(biāo)、弦長和切線都是函數(shù)!顯然非常模糊，且不具體，與我們現(xiàn)行的函數(shù)定義相差甚遠(yuǎn)．

(2)第一次擴(kuò)張．1748年，數(shù)學(xué)家歐拉將函數(shù)定義為:“變量的函數(shù)是一個解析表達(dá)式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的．”1775年，歐拉又給出了函數(shù)的另一種定義:“如果某些變量，以這樣一種方式依賴另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之而變化，那么前面變量稱為后面變量的函數(shù)．”上述歐拉給出的函數(shù)的兩個定義稱之為解析的函數(shù)概念．例如x2+x+1，(x－2)2+y2，等等，這與現(xiàn)行的函數(shù)定義相差不多了，只要稍作修改為f(x)=x2+x+1;f(x，y)=(x－2)2+y2即可．見上述例1、例2、例3．

(3)第二次擴(kuò)張．歐拉在提出解析的函數(shù)概念的同時，給出了圖像的函數(shù)概念:“在xOy平面上任意畫出的曲線所確定了的x，y之間的關(guān)系．”

(4)第三次擴(kuò)張．1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里赫萊進(jìn)一步給出了函數(shù)的定義:“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應(yīng)，那么y叫做x的函數(shù)．”黎曼也給出了類似的定義:“對于x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應(yīng)，而不拘建立x，y之間的對應(yīng)方法如何，均將y稱作是x的函數(shù)．”上述函數(shù)的兩個定義稱之為對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)概念．

(5)近、現(xiàn)代函數(shù)的定義．在近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，函數(shù)的概念又有了進(jìn)一步的發(fā)展，建立在“集合”和“對應(yīng)”這兩個基本概念的基礎(chǔ)之上，其定義為:集合到集合的單值對應(yīng)．即非空集合間的映射叫做函數(shù)．記作f:A→B，x?→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函數(shù)的定義域，f叫做函數(shù)的對應(yīng)法則，f(A)叫做函數(shù)的值域．

二、函數(shù)概念的注解

現(xiàn)行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中，對函數(shù)概念的定義不外乎兩種，其一是變量的函數(shù)觀點，其定義為:“設(shè)在某變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，y都有唯一的確定的值和它對應(yīng)，那么就把y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量．”這在中學(xué)數(shù)學(xué)課本中，非常普遍，也比較流行．其二是對應(yīng)的觀點，其定義為:“非空數(shù)集間的映射叫做函數(shù)．”但無論是哪一種定義，都比較狹隘，非常局限，會誤導(dǎo)學(xué)生，特別是對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成隱患，有必要對其進(jìn)行探究和解釋說明．

1．修訂

對于定義“設(shè)在某變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，y都有唯一的確定的值和它對應(yīng)，那么就把y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量．”把函數(shù)定義為變量，顯然與高等數(shù)學(xué)中映射的觀點不相符，給大學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)埋下了隱患．而定義“集合到集合的單值對應(yīng)．即非空集合間的映射叫做函數(shù)．”當(dāng)然也是有問題的．一是何謂單值?集合中的元素一定是“值”嗎?二是何謂單值對應(yīng)?把現(xiàn)行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中函數(shù)概念定義為:“非空集合間的映射叫做函數(shù)．”記作f:A→B，x?→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函數(shù)的定義域，f叫做函數(shù)的對應(yīng)法則，f(A)叫做函數(shù)的值域．強(qiáng)調(diào)函數(shù)是集合間的一種關(guān)系，一種特殊的關(guān)系!這樣，既便于學(xué)生理解，又與今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不矛盾．

2．注釋說明

(1)當(dāng)A，B都是數(shù)集時，f就是現(xiàn)行各種教材中函數(shù)的定義．其中A，B可以是無限集，也可以是有限集．

例4y=f(x)=2x+3，x∈R．

(2)當(dāng)A，B不都是數(shù)集，或都不是數(shù)集時，f仍然是集合A到集合B的函數(shù)．請看下面的例子:

例5集合點名．叫“張三”，就有一個名字叫張三的人答應(yīng)(假設(shè)集合中名字叫張三的人唯一)，這就是名字集到人集的映射，當(dāng)然是函數(shù)，而且是非數(shù)集到非數(shù)集的函數(shù)!根據(jù)概率的定義，“隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)，稱為A發(fā)生的概率，記作P(A)．”其實質(zhì)是事件域T到無限集［0，1］的映射，是函數(shù)!因而才有概率的公理化定義:“概率是定義在事件域T上的一個非負(fù)的、規(guī)范的、可列可加的集函數(shù)．”