第一篇

一、數(shù)學(xué)思想方法的分類

（一）分類討論方法

分類，即根據(jù)性質(zhì)的不同分門別類，把各種不同性質(zhì)的東西分開，然后整理好，從而讓它們變得有條理，這樣便于問題的分析解決。例如，二元一次方程ax2-4x-2=0有實(shí)根，求a的值。考慮到a的值會(huì)影響方程的次數(shù)，所以這時(shí)就要對(duì)a進(jìn)行分類來求解該題。（1）當(dāng)a=0時(shí)，方程為一次方程，即4x+2=0，次方程有實(shí)根x=-2；（2）當(dāng)a≠0時(shí)，方程為二次方程，如果要滿足題目要求有實(shí)根就必須滿足根的判定定理，即△≥0，得到a≥-2且a≠0。由于這兩種情況可以合并，所以最后的結(jié)果就是a的取值范圍為a≥0。

（二）逆向思維思想

在生活中逆向思維方式無處不在，它其實(shí)就是從問題的對(duì)立面來思考，并結(jié)合實(shí)際將數(shù)學(xué)問題反過來考慮。例如，初中數(shù)學(xué)中有的題目的最小值可能不好求，而最大值很好求，這時(shí)教師就可引導(dǎo)學(xué)生通過求最大值的方法來達(dá)到解決問題的目的。這是一種很好用的方法，其有利于提高學(xué)生大腦的靈活性，有利于鍛煉學(xué)生的思維能力。

（三）整體思想

所謂整體思想就是要縱觀全局，從整體上考慮問題，而不是從問題的某一個(gè)角度去思考；是要從大的方向分析，而不是從小的角度著手。有的時(shí)候，從細(xì)的方向去解決數(shù)學(xué)問題反而會(huì)使問題變得很復(fù)雜，達(dá)不到解決問題的目的，此時(shí)就需要從題目的全局出發(fā)，慢慢深入題目的內(nèi)部。

（四）類比聯(lián)想思想

聯(lián)想不光運(yùn)用于語文中，在數(shù)學(xué)中同樣也適用，我們可以由一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)問題聯(lián)想到其他類似的數(shù)學(xué)問題，并對(duì)它們進(jìn)行類比分析，這樣就可以達(dá)到融會(huì)貫通的目的，也會(huì)讓學(xué)生的思維更加開闊。

（五）化歸思想

將兩個(gè)性質(zhì)相同的運(yùn)算進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化就是一種化歸思想，如兩個(gè)數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為被加數(shù)和加數(shù)的相反數(shù)的減法運(yùn)算，兩個(gè)數(shù)相除同樣可以轉(zhuǎn)化為被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)的運(yùn)算。此外，用公式定理來解決數(shù)學(xué)問題也屬于歸化思想。總之，教師要鼓勵(lì)學(xué)生用歸化思想解決問題，并在此過程中不斷提升自己。

二、落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

（一）將數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)在平時(shí)的教學(xué)中

教師要將數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)在平時(shí)的教學(xué)中。在教學(xué)的過程中，教師不應(yīng)將課本中的文字灌到學(xué)生的大腦中，而是要將其中的精髓提煉出來，要傳授給學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思想方法。這樣，學(xué)生就會(huì)慢慢地形成自己的數(shù)學(xué)思想和獨(dú)立的思維方式，就可以做到觸類旁通、舉一反三。這也是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的體現(xiàn)，對(duì)提高學(xué)生能力起到了很大的幫助作用，同時(shí)也讓學(xué)生感受到了挑戰(zhàn)的激情，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（二）突出重點(diǎn)和難點(diǎn)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要“重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分明”。如果堂堂課全是重點(diǎn)，那么學(xué)生會(huì)失去學(xué)習(xí)的積極性；相反，如果課堂沒有重點(diǎn)，學(xué)生必然會(huì)感到特別茫然。所以，在課堂教學(xué)過程中，教師要突出重點(diǎn)和難點(diǎn)，要反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。在教授重難點(diǎn)的時(shí)候，教師要放慢講課速度，并綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。此外，教師在講課中要特別注意與學(xué)生的互動(dòng)，要根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)靈活教學(xué)，讓學(xué)生在課堂上盡可能多地掌握所要教學(xué)的重、難點(diǎn)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。

三、結(jié)語

總之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，要突出重、難點(diǎn)，要打好基礎(chǔ)，同時(shí)要讓數(shù)學(xué)思想滲透到數(shù)學(xué)問題的解決中。雖然數(shù)學(xué)是相對(duì)比較枯燥的東西，但是數(shù)學(xué)教師可以用不同的數(shù)學(xué)思想方法讓它變得生動(dòng)形象起來，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

作者：余長珍 單位：江西省鉛山縣第三中學(xué)

第二篇

一、以惑為誘進(jìn)行教學(xué)的可能

從人類獲知的過程來看，主要有兩種不同的方式：循序漸進(jìn)式和躍進(jìn)式。孟子曾說“盈科而后進(jìn)”，以為“其進(jìn)銳者其退速”。同時(shí)，他還用“揠苗助長”的故事來警示“揠苗”的方法“非徒無益，而又害之”。朱熹也曾說“智者知之積”，“非一日之勤所能為也”，獲知必須著眼于“一粒之萌芽，一縷之滋長”。一直以來，循序漸進(jìn)原則也是教育過程中不可動(dòng)搖的鐵律，知識(shí)的傳授需要從直觀到抽象，從淺顯到深刻。從個(gè)體獲知的角度來看，循序漸進(jìn)也是個(gè)體以原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)不斷“同化”新的知識(shí)的過程，不斷地把各種知識(shí)融入其中，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)量的擴(kuò)張及結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。知識(shí)的獲得還有另外一種被稱為“躍進(jìn)”的方式，諸如“頓悟”、“恍然大悟”等就是其存在的最好的例證。這種觀點(diǎn)認(rèn)為“無論是人的智力發(fā)展、道德形成、能力培養(yǎng)，或者外在的科學(xué)進(jìn)步和知識(shí)增長，除了有常規(guī)的循序漸進(jìn)的方式之外，還有非常規(guī)的或非常態(tài)的躍遷突進(jìn)的方式。”這種“躍進(jìn)”的實(shí)現(xiàn)是以惑為媒介的。惑的存在引起了解惑的沖動(dòng)和行為，使知的獲得成為可能；惑的存在是主體原有的闡釋系統(tǒng)發(fā)生紊亂或者說失效，必須以一個(gè)具有更強(qiáng)大解釋功能的闡釋系統(tǒng)代替原有的闡釋系統(tǒng)，使主體擺脫惑境，這樣主體原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)必然“順應(yīng)”另一個(gè)層次更高的體系結(jié)構(gòu)。

二、以惑為誘教學(xué)方法與初中數(shù)學(xué)的適切性分析

初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)以學(xué)生的全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展為起點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程在面向全體學(xué)生前提下的基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)、人人獲得必備的數(shù)學(xué)知識(shí)、不同的人獲得不同的發(fā)展。”相對(duì)于傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)情感態(tài)度的忽視、對(duì)創(chuàng)造性的束縛，新課程標(biāo)準(zhǔn)在關(guān)注知識(shí)和技能的同時(shí)，也關(guān)注過程與方法、情感與態(tài)度，并特別提出了過程性目標(biāo)和體驗(yàn)性目標(biāo)，重視“學(xué)生‘經(jīng)歷了什么’、‘感受了什么’、‘體會(huì)了什么’。”基于此，提出了初中數(shù)學(xué)教學(xué)在知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度方面的四維目標(biāo)。

首先，在知識(shí)與技能方面，要通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，獲得一些必備的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、應(yīng)用技能及數(shù)學(xué)思想方法，以滿足社會(huì)生活及個(gè)體長遠(yuǎn)發(fā)展的需要；其次，在數(shù)學(xué)思考方面，通過一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)（如觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等）的開展，發(fā)展學(xué)生的合情推理與演繹推理能力，使其能夠大膽地提出自己的觀點(diǎn)，并敢于為自己的觀點(diǎn)辯護(hù)；第三，在解決問題方面，使學(xué)生能夠用所學(xué)的知識(shí)和技能從數(shù)學(xué)的角度提出問題、分析問題、解決問題，并且在探究過程中，鼓勵(lì)學(xué)生尋求多樣的問題解決策略，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神；最后，在情感和態(tài)度方面，通過豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展及學(xué)生的積極參與，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲，并在困難的問題情境的解答中使其獲取成功的情感體驗(yàn)，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。初中數(shù)學(xué)“以惑為誘”教學(xué)方法的提出緣于實(shí)際教學(xué)出了問題，即傳統(tǒng)的灌輸教學(xué)方法依然盛行，其目的是為了改變“傳遞———接受”的教學(xué)方式，改變死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練、簡單重復(fù)的學(xué)習(xí)方式，凸顯學(xué)生的主體特性，使學(xué)習(xí)擺脫外界力量的束縛和強(qiáng)迫，變成由興趣所引發(fā)的內(nèi)在的、主動(dòng)的、積極的過程。

初中數(shù)學(xué)“以惑為誘”教學(xué)方法的提出是為了學(xué)生更好地掌握知識(shí)，形成完備的知識(shí)體系。它以“生惑”為出發(fā)點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在積極主動(dòng)的探究中發(fā)現(xiàn)知識(shí)。而在探究中發(fā)現(xiàn)知識(shí)，需要建立在其原有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，這樣，新發(fā)現(xiàn)的知識(shí)必然與原有知識(shí)建立起聯(lián)系，有利于知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。其次，初中數(shù)學(xué)“以惑為誘”教學(xué)方法在實(shí)踐中的運(yùn)用強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己的思考和探究的重要意義，這等于給學(xué)生的思維解去了枷鎖，拓展了寬度。這樣的教學(xué)不僅依賴于學(xué)生的思維，而且，為學(xué)生思維能力的提升創(chuàng)造了條件。第三，初中數(shù)學(xué)“以惑為誘”教學(xué)方法的起點(diǎn)是“惑”，正如在前文中論述的那樣，解惑的第一步就是通過梳理把“惑”具體化為“問題”。

惑是一種心理狀態(tài)，是學(xué)習(xí)需要的發(fā)生條件，而惑的合理解答則是要通過一系列問題的化解而完成。問題解決能力正是在這樣的問題解決過程中得以發(fā)展，問題解決的背景知識(shí)只有在這樣的反復(fù)提取中才能變得易于遷移，問題解決策略也在這樣積極的思考探究中得以形成。最后，在情感和態(tài)度方面，初中數(shù)學(xué)“以惑為誘”教學(xué)方法也具有極大的能量。這種教學(xué)方法的展開過程就是以學(xué)生內(nèi)在的情感狀態(tài)為推進(jìn)依據(jù)的。只有讓學(xué)生“生惑”，才能去梳理惑，才能去尋求解惑的途徑；只有在學(xué)生的思考過程中產(chǎn)生了“憤”這種渴望解惑的情感，教師才能夠給予有效的啟發(fā)；只有當(dāng)學(xué)生在繼續(xù)的思考中產(chǎn)生雖“未得”但“已非常接近答案”的“悱”的狀態(tài)，教師的“發(fā)”才具有意義。這樣的教學(xué)過程中學(xué)生體驗(yàn)著豐富的情感，并由此孕育出強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和欲望，學(xué)習(xí)對(duì)他來說變成“自身發(fā)展的內(nèi)在需要與完善和提高自己的手段，變成一種愉快的情感體驗(yàn)。”

三、初中數(shù)學(xué)以惑為誘教學(xué)方法的過程分析

前文中論述了惑的普遍性，也闡明了惑是知的重要方式，那么惑自然也可以引入教學(xué)活動(dòng)，只是需要變“被動(dòng)地遇見惑”為“主動(dòng)地構(gòu)建惑”，把學(xué)生主動(dòng)地帶入一種惑境，由此而引發(fā)學(xué)生的探索與思考，并在惑的解構(gòu)、具體化、解決過程中發(fā)現(xiàn)知識(shí)、消化知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)。惑具有強(qiáng)烈的個(gè)體性，處于同一情境中，有人可以生惑，有人卻沒有惑，即使都有惑，惑的層次和水平也會(huì)有明顯的差別，因此，在“以惑為誘”的教學(xué)過程中應(yīng)該格外關(guān)注對(duì)個(gè)體的單獨(dú)指導(dǎo)。同時(shí)，教師要發(fā)展其敏銳的眼光，以準(zhǔn)確地辨明學(xué)生是否出現(xiàn)了惑的心理，并在對(duì)話中定位致惑原因，為解惑提供方向上的引導(dǎo)。具體來說包括下面四個(gè)步驟：

第一，創(chuàng)設(shè)情境，誘導(dǎo)學(xué)生生惑。教師按照一定的目的使學(xué)生出現(xiàn)惑的心理狀態(tài)，由此產(chǎn)生出“知”的興趣和動(dòng)力。

第二，與學(xué)生一起厘清惑。厘清惑就是通過解析實(shí)現(xiàn)惑的具體化目的，其行為是“解析”，結(jié)果是“問題”。“解析”是指對(duì)惑的解剖，“即通過對(duì)學(xué)生已有闡釋系統(tǒng)及其無法有效包容和解釋的刺激的關(guān)系的全面了解，并對(duì)借助教師的幫助和指導(dǎo)，學(xué)生是否能成功解惑，以及解惑將涉及的范圍和問題進(jìn)行總體的評(píng)估。”“問題”是惑的具體化，是在對(duì)惑的可能原因解析基礎(chǔ)上為惑的解決指出明確的方向，惑的問題化是解惑的關(guān)鍵。

第三，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生解決惑。解惑是由一系列環(huán)節(jié)構(gòu)成的，即“探究→憤→啟→探究→悱→發(fā)→知”。“探究”是指學(xué)生主動(dòng)尋求問題的解決。而“憤”者，心求通而未得之意，即學(xué)生在“探究”了一段時(shí)間依然可能想不通，便產(chǎn)生的一種非常渴望知道的狀態(tài)。這時(shí)便需要教師及時(shí)地“啟”發(fā)，并鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)思考。在這一階段，學(xué)生可能直接致知，也可能只接觸到零碎“知”的片段，無法以準(zhǔn)確的言辭表述出來，也就是“悱”的狀態(tài)，即口欲言而未能之貌。

教師應(yīng)在此關(guān)鍵時(shí)刻給予幫助，其實(shí)就是“發(fā)”的過程，以實(shí)現(xiàn)最終的目的———“致知”。第四，與學(xué)生一起反思解惑過程。反思的目的首先在于回顧整個(gè)解惑的過程，以確定是否有疏漏之處；其次，還在于通過解惑過程以獲得思維策略上的積累；當(dāng)然，反思的過程也不僅應(yīng)該出現(xiàn)在解惑實(shí)現(xiàn)之后，在解惑過程中的反思也有利于尋找到正確的解惑途徑。

四、初中數(shù)學(xué)以惑為誘教學(xué)方法的實(shí)施要求

以惑為誘的教學(xué)方法是以“惑”為媒介激發(fā)個(gè)體的求知欲望，從而實(shí)現(xiàn)個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的跳躍式發(fā)展，要使學(xué)生“一惑剛?cè)ィ换笥謥恚绱搜h(huán)往復(fù)、層層深入，促使學(xué)習(xí)者思維的發(fā)展與知識(shí)的增進(jìn)。”那么，在具體的實(shí)施過程中應(yīng)該如何保證其有效性，并實(shí)現(xiàn)獲知效率的最大化，或者說在“以惑為誘”的教學(xué)過程中有哪些因素需要格外注意的呢？

１．創(chuàng)設(shè)有效的惑境

在課堂中，“教師供給的刺激或暗示相對(duì)于學(xué)生的闡釋系統(tǒng)而言需具有一定的新異性，促使學(xué)生根據(jù)自己的闡釋系統(tǒng)對(duì)暗示的意義做出解釋（惑解決新情境中的問題）時(shí)產(chǎn)生惑。”惑的有效性，既表現(xiàn)為解惑的可能性，也表現(xiàn)為惑在多大的程度上激起了學(xué)生的探索欲望。如果惑太大太難，學(xué)生費(fèi)盡九牛二虎之力也覓不到絲毫解惑之線索；或者惑太小太易，一目了然，這樣的惑都是失敗的惑。前者會(huì)導(dǎo)致學(xué)生因無望而放棄，后者，可能根本就不存在惑。比如說，在“勾股定理”的教學(xué)中，若是這樣導(dǎo)入：“一般的三角形的三邊之間具有什么關(guān)系？作為特殊三角形的直角三角形的三邊之間除了一般關(guān)系之外，還有其他關(guān)系嗎？”只要學(xué)生臨時(shí)看一眼課本，就會(huì)馬上告訴你“有，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這無異于直接呈現(xiàn)給學(xué)生勾股定理的內(nèi)容，同時(shí)，給學(xué)生造成已經(jīng)掌握的假象，失去了探索其中奧秘的興趣。因此，這是一個(gè)失敗的惑。但是，如果換一種方式，呈現(xiàn)圖２，并描述，“這是２００２年在北京召開的第２４屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽，它像一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，揮舞著手臂，歡迎來自世界各國的數(shù)學(xué)家們。同學(xué)們請(qǐng)觀察這個(gè)圖片，并思考其中的三條線段ａ，ｂ和ｃ之間的關(guān)系。”通過欣賞圖片，加之老師啟發(fā)性的語言，可以激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并轉(zhuǎn)化為探索的行動(dòng)。

２．關(guān)注惑的個(gè)體性

學(xué)生的原有認(rèn)知水平和思維方式上存在著很大的差別，因此，即使在相同的惑境中，惑的表現(xiàn)也不盡相同，呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的個(gè)體性。在教學(xué)中，教師一定要關(guān)注到這一點(diǎn)，給予學(xué)生個(gè)別化的輔導(dǎo)，不能把著眼點(diǎn)集中在同步的過程和節(jié)奏上。“教師應(yīng)尊重學(xué)生的人格，關(guān)注個(gè)體差異，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，創(chuàng)設(shè)能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與的教育環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生掌握和運(yùn)用知識(shí)的態(tài)度和能力，使每個(gè)學(xué)生都能得到充分的發(fā)展。”比如說，有的學(xué)生可能是因?yàn)?ldquo;審題”出現(xiàn)差錯(cuò)而困惑，有的可能是因?yàn)閿?shù)學(xué)化能力的不足而困惑，有的則可能是知識(shí)準(zhǔn)備的不足而困惑等等。因此，在以惑為誘的教學(xué)過程中，教師要盡可能與每位學(xué)生交流，了解他們的困惑，并幫助分析惑產(chǎn)生的原因，分別給予思維方向上的指引，最終達(dá)成致知的目的。

３．倡導(dǎo)學(xué)生的探究

從上面的案例可以發(fā)現(xiàn)，“以惑為誘”的教學(xué)方法非常重視學(xué)生自我在解惑過程中的作用，教師切不可喧賓奪主、越俎代庖。惑的解答不是“天上掉下個(gè)林妹妹”似的給予，而是要在主體的背景知識(shí)作用下，分析惑，梳理惑，把惑歸結(jié)或分解為具體的問題，再繼續(xù)尋找問題解決的途徑。以惑為誘的方法加于學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，其目的便是通過惑引起認(rèn)知的失效，加上人與生俱來的認(rèn)知沖動(dòng)，惑自然點(diǎn)燃了主體的解惑欲望，增強(qiáng)了獲知興趣，并自愿且積極地走進(jìn)思維的世界。如若在惑的產(chǎn)生之后，教師采取講授的方式幫助或替代學(xué)生解惑，其結(jié)果必是使學(xué)生從自我依賴走向教師依賴、從主動(dòng)解惑變成被動(dòng)接受。因此，以惑為誘的教學(xué)方法旨在生產(chǎn)學(xué)生追求知識(shí)的強(qiáng)大內(nèi)驅(qū)力，并引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)地探尋知識(shí)的奧秘。

４．重視方向的引導(dǎo)

由于學(xué)生認(rèn)知水平的局限，他們?cè)谑崂砘蟆⑶蠼鈫栴}的時(shí)候，自然會(huì)有無從下手的狀況，當(dāng)然，允許學(xué)生的不斷試誤是必不可少的，“誰不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻”，但是，如若反復(fù)地試誤之后依然毫無進(jìn)展且沒有獲得教師在方向上的引導(dǎo)，學(xué)生不可避免地會(huì)產(chǎn)生放棄的念頭，這是對(duì)學(xué)生興趣和自信心的打擊，在這個(gè)時(shí)候，教師這個(gè)思維引路人的角色必須要發(fā)揮作用。比如在上述的案例中，在致惑原因的分析上，在把惑聚焦的過程中，教師的引導(dǎo)意義重大；在學(xué)生初步嘗試解題失敗后，教師的引導(dǎo)為學(xué)生點(diǎn)出了問題解決的可能方向，使學(xué)生的繼續(xù)探究變成了可能；解題過后的總結(jié)，滲透數(shù)學(xué)建模的思想，提高了學(xué)習(xí)效率，也提高了學(xué)生的認(rèn)識(shí)力。

作者：周大眾 廖冬梅 單位：西南大學(xué)西南民族教育與心理研究中心 重慶師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院