一、哲學視角：數學教育的問題追問

問題一：教師“數學觀”的缺失

在數學教師心中，“數學哲學”“數學觀”這類話題離實踐太遠。如在“數學觀”調查中，有教師直言：“我不知道什么是數學觀，我也不知道我的數學觀是什么，但我幾乎可以肯定，這些東西與我的教學工作沒有任何關系。”許多教師對數學哲學極為陌生，認為“數學觀”問題純粹是一個“玄學問題”。還有教師持有某些畸形、空泛的數學觀，認為“數學就是解題”等。何謂數學？或許我們未曾對之進行認真思索，但“數學觀”卻猶如一只“看不見的手”牽引著我們。當我們遭遇數學問題時，我們往往需要做出決策，這時一種被稱為“觀點”或“主張”的“隱蔽觀念”就會不自覺地左右我們的行為，幫助我們決策、選擇。其實，這就是“數學觀”的雛形。

問題二：教師“數學教育觀”的缺席

國家課標制定組曾對200名中小學數學教師做過一項調查，調查問題是：當你看到“數學”這個詞時你首先想到什么？調查結果是：76%的人想到計算、公式、法則；20%的人想到煩、枯燥、沒意思；只有4%的人回答數學使人聰明、有趣、有用。“學數學有什么價值？”許多教師告訴學生“數學學習很重要、很有用”，但到底有何用途又說不清楚。以至于學生走上社會后認為，“學數學除了應付考試外沒任何價值”，“學數學知識只要有了小學水準，夠應付日常生活就足夠了”。數學究竟是什么？數學教育應當追尋什么？這不僅指涉數學本體，更指向數學教育！

二、哲學思索：數學教育的價值追尋

哲學視域中追尋數學教育價值首先是追問“數學觀”，即“何為數學”。其次是追問“數學教育觀”，即“數學何為”。如此發問將有助于我們澄明并敞亮數學和數學教育之本性、本然，并在此澄明中進行哲學化教學實踐，即在哲學觀牽引下思考“怎樣去進行數學教學”。

（一）數學本體的哲學意蘊——追問“何為數學”

1.歷史掠影

“何為數學？”中國古代數學觀認為，數學是“技法之術”“濟世之術”“問題解決之器”，是歸納性、方法性的模式之學，其代表作是《九章算術》。在古希臘，哲學家畢達哥拉斯認為“萬物皆數”，柏拉圖將數學看作“理念外化”，認為數學是“知性之學”（介于感性和理念之間）。希臘數學重邏輯、演繹，有形上傾向，其代表作為《幾何原本》。近現代以來，數學的哲學化定義更是層出不窮，如笛卡爾認為“數學是一個知識工具”；羅素認為“數學就是邏輯”；恩格斯認為“數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學”；維特根斯坦認為“數學是一種特殊的語言”；弗賴登塔爾認為“數學是系統化的常識”；斯托利亞爾認為“數學是一種活動”；等等。

2.哲學思辨

數學觀是人們對數學總的看法，即對數學本源、本質和發展的認識。哲學家的“數學觀”建基于各自的哲學立場。自古希臘以來，西方哲學有經驗主義和理性主義兩種路向。經驗主義數學觀認為，數學是科學的分支，是直接和現實世界打交道的，數學思想來源于經驗。理性主義數學觀認為，數學是無可懷疑的“真理集合”，是可靠知識的唯一代表。當下數學教育“生活化與數學化”“形式化與非形式化”“日常化與學校化”等探討，究其本質都是經驗主義和理性主義之爭鳴。事實上，數學兼及經驗性和演繹性。“一方面，數學是由概念、定義、定理等材料經演繹而成的，是系統的演繹科學；另一方面，數學也是體驗性、創造性的歸納科學。”（波利亞語）數學產生之初，人類“計算”牲畜、丈量土地的方法是一種不能離開實物對象的“實驗”方法，但數學一經產生，研究的就是超越實物對象的“數”和理想的“點”“線”“面”等“思想事物”，并開始其抽象性發展。數學本質如林夏水先生所言，是演（演繹）算（算法），又如“擬經驗主義”所認為的，“是可誤的、可糾正的”。

（二）數學教育的哲學意趣——追問“數學何為”

1.歷史掠影

基于實用功利的數學觀，中國古代數學教育重算法、重應用。基于“純粹理性”的數學觀，西方數學教育重思維、重演繹。教育哲學史上曾有“實質教育”和“形式教育”之分。數學“實質教育”主張數學是“科學的皇后”，為自然科學奠基；數學“形式教育”將數學作為“最高形式理性訓練”。概言之，數學教育有“經世致用”取向與“理性思辨”取向。

2.哲學思辨

當代數學教育價值表現在：一方面，數學以其嚴密知識體系、思維訓練、人格陶冶等“形式”充分發揮人的心智功能，滿足人們求真、向善、尚美之天性，具備其理性價值；另一方面，由數學經驗性和實踐性衍生出來的應用廣泛性直接決定了數學的實用價值（工具價值）。當下數學教育一方面要關照兒童經驗，充分發掘知識的生活原型，讓“生活數學”與“學校數學”有效對接，引導兒童經歷“橫向數學化”（從生活到數學）；另一方面要培養兒童的數學眼光，讓兒童學會“數學式”思維乃至“通過數學學習學會思維”（鄭毓信語），引導兒童經歷“縱向數學化”（從數學到數學）。

三、哲學化實踐：哲學觀牽引下的數學教育

數學哲學應當成為數學教育實踐的“活的哲學”，指引數學活動的開展。同時，數學教育實踐也應成為數學哲學研究的“活的源泉”，為數學哲學研究提供鮮活的感性素材。數學教育實踐是數學哲學研究的出發點和歸宿。

（一）捕捉數學文本中的哲學基因

當我們用“哲學眼光”來打量小學數學教材時，可以發現許多蘊含“哲學味”、能萌發兒童哲思的數學素材，如本源性素材、發展性素材、本質性素材、結構性素材等。教師要有意識地捕捉數學文本中的哲學基因。

1.追本溯源，發掘“本源性素材”

哲學總是追問本源，數學教學也要追本溯源（概念發生之源、工具產生之源、法則建構之源）。如低年級的“加減乘除”符號由來；中年級的“古代計數法”“24時計時法”“時間尺的誕生”“分數的產生”等；高年級的“《九章算術》之正負數思想、以盈補虛法”“古代方程思想發展”“求公因數方法”等。通過“本源性素材”，明晰知識的“源”“流”，追尋知識的來龍去脈。

2.叩問本質，透析“本質性素材”

“叩問本質”是經典性的哲學思維，也是數學教學的應有之義。如教學“平移和旋轉”要抓住“方向、距離、角度”；教學“用字母表示數”，要讓孩子感悟“字母不但可表示已知、確定的數，更可表示未知、不確定的數”；教學“間隔排列”要滲透“一一對應”思想；教學“平行四邊形、三角形、梯形面積”要滲透“轉化”思想，追問“轉化”依據；教學“方程”，要讓兒童體驗“尋找未知數”過程；教學“圖形覆蓋現象中的規律”，要讓兒童深度思考“為什么‘得到不同選擇的個數’比‘平移的次數’多1”；教學“倒數”，要緊扣“乘積是1”；等等。本質是知識內核，教學中要讓兒童以合適的方式去體驗。

3.承前啟后，關注“發展性素材”

辯證哲學觀認為，事物是不斷發展變化的，數學知識也是如此。許多數學概念是按兒童年齡特征、認知規律編排的，其意義處于不斷擴充與發展中。最簡單的如數“1”，認數時表示物體基數、序數意義；以后在多位數不同數位上時表示10、100、1000等；引進小數和分數意義后又表示一個整體。再如“0”，開始認數時表示一個單位也沒有；以后在多位數讀寫中用來“占位”；引進“量的計量”后在刻度尺、量角器上又表示起點。又如“分數”，不同情境有不同“意義”（“份數定義”、“商的定義”、“比的定義”與“公理化定義”等）。對于發展型素材，教學時要能承前啟后。

4.把握關聯，洞悉“結構性素材”

“關系哲學”認為，知識不應是散點形態，而應是鑲嵌在關系之中。數學教學有兩個層面，一是對“知識點”本身的理解，二是對知識結構（知識鏈、知識網、知識群）的把握。單子式“知識點”只有融入“知識結構”中才能獲得深刻而全面的認識。知識結構有外顯結構和內隱結構。如因數、倍數、公因數、公倍數、約分、通分、異分母分數相加減，長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計算等就是一種外顯結構，外顯結構教學當循“序”漸進。而貫穿整數、小數和分數加減法計算算理的是一條暗線，其內隱結構為“只有計數單位相同才能直接相加減”；長方體、正方體、圓柱體側面積計算公式各異，而其內隱結構為“底面周長乘高”；長方體、正方體、圓柱體體積計算，其內隱結構為“底面積乘高”。內隱結構教學要求教師能洞悉知識的生長點、聯結點、結構點。

（二）讓數學教學蘊含哲學氣質

數學知識具有經驗性（如小數、分數的認識、計算等）和超驗性（如無限不循環小數π等）。“經驗性知識”教學適合演繹，遵循知識的發生原則；“超驗性知識”教學適合于“猜測與反駁”“證明與證偽”。不同的教學方式、主張與流派背后顯現的是不同的數學觀與教育觀。蘊含哲學氣質的教學遵循對話的“邏各斯”，關注“知識”與“人”的相遇、與“人”的意義聯系，一如孔子之啟發式，蘇格拉底之產婆術。

1“.融通式”教學：“高觀點”下洞悉知識的數學本質

數學哲學認為，知識不僅是公式的羅列，更是圍繞“高觀點”(highpoint)組織的。“高觀點”（數學思想、方法與精神）是知識的靈魂。在數學家克萊因看來，數學教師的職責是“使學生了解數學并不是孤立的各門學問，而是一個有機的整體”。他認為，“數學的每一個分支，原則上應看作是數學整體的代表”，“許多初等數學現象只有在非初等理論結構內才能被深刻理解”。教師應站在“高觀點”下審視、理解初等數學問題。唯如此，數學教育方能居高臨下、瞻前顧后、以簡馭繁、彰顯智慧。如教學“交換律”（蘇教版《數學》四年級上冊），通常教法是:教師出示多個算式，讓孩子計算，然后簡單比較，揭示加法交換律，接著就是簡單運用，這種教學遮蔽了“交換律”的普適價值。筆者教學時通過整合單元教材，以“高觀點”導引兒童學習。教學伊始，由等式“3+4=4+3”引發兒童猜想：是否任意兩數相加，交換加數位置，和都不變？然后讓學生舉例，通過多元例證進行“不完全歸納”，揭示“加法中，交換兩個加數的位置和不變”。接著引導兒童類比猜想：在加法中，交換幾個加數的位置，和還不變嗎？在乘法中是否也有交換律？在減法和除法中呢？由此突破作為單一運算的“加法交換律”，形成關于“交換律”（高觀點）本身的多個猜想。經由不完全歸納“證明”和舉例“證偽”，兒童初步感受“加法、乘法交換律”。然后借助形象的“點子圖”，讓兒童直觀理解“加法、乘法交換律”，體驗數學思維和方法的精妙。最后用“（）+（）=（）+（）”引領兒童多樣表達（如字母表示、圖形表示、文字表達等）。由此滲透數學“集合思想”“辯證思想”“證明思想”“符號思想”等。

2“.發生式”教學：讓兒童主動創造數學知識

“發生式”教學是數學教學最主要的教學路徑。因為絕大多數數學知識的源頭并不神秘，其形成過程往往是充滿溫情的，因此我們要順著知識誕生的內在邏輯事理來進行教學，引領兒童重溫人類知識生發歷程中的關鍵步驟。比如我們從很多相同的數相加比較麻煩，創造出乘法——它是加法的另一種表現形式；９＋Ｘ，很多孩子算起來速度慢，由此我們建構“湊十法”的數學模型。如教學“確定位置”（蘇教版《數學》六年級下冊），通常教法是：教師直接告訴學生“東北方向也叫北偏東”。如此，孩子便會產生疑問，“為什么東北方向叫北偏東，不叫東偏北？”鑒于孩子的合理發問，筆者教學時利用課件在平面圖上分別顯示從正北方向略偏東和從正東方向略偏北兩個位置，激發學生自主創造“數學規定”。經由全班交流，孩子們普遍贊同“正北方向略偏東叫北偏東，正東方向略偏北叫東偏北”，因為這樣規定合理、方便。然后筆者用課件將目標位定于“北偏東45度方向”，激發孩子們的認知沖突——“這個方向既可認為是北偏東，也可認為是東偏北，兩種說法不就容易混亂嗎？而且，平面上的方向也被分成了八種。”然后筆者適時啟發：在茫茫大海上航行，我們怎樣辨別方向？孩子們很快想到指南針，先用指南針確定南北，再看偏離這兩個方向的角度。至此，孩子深刻體驗到“北偏東”“南偏西”規定的合理性。

3．“歸納式”教學：引領兒童進行數學的“過程抽象”

數學知識是人類“生命•實踐”活動的智慧結晶。數學教學如果按照“了解符號—記憶概念—強化符號—鞏固應用”的邏輯展開，那么兒童經歷的只是“符號抽象”“形式抽象”，而沒有體驗過程。“歸納式”教學（含完全歸納和不完全歸納兩種）是讓兒童在操作、感知大量“異質性”材料基礎上，通過聚類分析（尋找不同中的相同）和分類分析（尋找相同中的不同），對“知識過程”進行抽象、提煉、概括。教學“正比例的意義”（蘇教版《數學》六年級下冊），通常教法是：首先復習數量關系，然后根據教材問題直奔主題，直導判定方法——兩種量相關聯、一種量擴大（縮小）另一種量也擴大（縮小），兩種量的比值（商）一定。其結果是兒童雖然能準確判定兩種量之間的關系，但卻并沒有體驗到變量之間的相互依存關系。鑒于此，筆者教學時首先出示豐富的感性素材，這些素材有蠟燭燃燒和汽車行駛（統計表出示），股票行情、兩個人的年齡變化情況、正方形的周長與邊長變化（圖像表示），正方形的面積公式。孩子們迅速發現這些素材中都是兩個變量，但兩個變量之間的關系不同。于是，孩子們對這些素材進行分類分析：第一類的兩種變量，一種量增加，另一種量也增加；第二類的兩種變量，一種量增加，另一種量反而減少；第三類的兩種變量，一種量增加，另一種量時增時減。然后筆者引導孩子對“同時增加”的一類做深入研究，通過圖像，孩子們將這一大類又分成兩小類：直線上升和曲線上升，繼而發現直線上升的兩種量之間的關系：一種量擴大，另一種量也擴大相同倍數。緊接著，筆者又讓學生對這一類進行聚類分析：即讓學生用表格、圖像、語言對“成正比例的兩種量”進行描述、刻畫，最后引導學生用解析式進行抽象概括。經由“過程抽象”，孩子們深刻體驗到兩種變量之間的相互依存關系，用不同方式（表格感受、圖像直觀、符號抽象）從多個側面、多重層次、多個維度深刻認識了“成正比例的量”，達到對“成正比例的量”的本質理解。

4“.驗證式”教學：開掘兒童數學“再創造”潛能

從邏輯角度看，數學是以演繹性、抽象性為主的一門學科，但從數學史和兒童心理角度看，數學的發現和理解卻主要依賴于歸納，兒童數學學習對兒童經驗的依賴性尤其突出。因此，教師要善于處理數學本體形式性與兒童認知經驗性的關系。教學“三角形內角和”（蘇教版《數學》四年級下冊）時，一位教師在引導學生回憶三角形的角、邊、如何畫三角形以及角的測量等知識后，讓每個孩子畫出不同形狀的三角形，測量內角度數并相加，然后匯報。孩子們的回答有“179度”“180度”“181度”“182度不到”等。在學生爭論不休時，教師又讓學生通過剪角、拼角等活動試圖克服兒童經驗性認知，得出“角的度量有誤差”以及“三角形內角和是180度”的結論。但依然有孩子質疑，認為剪拼過程中或許也會有誤差，或許三角形內角和根本不是180度。面對知識本身的形式性與兒童探究的經驗性之間的矛盾，教師一籌莫展。原因何在？從哲學視角看，在兒童經驗與數學形式不發生矛盾時，可以讓兒童經歷“過程抽象”。但當二者發生矛盾時，教學就應“演繹與歸納”結合。對于“三角形內角和”的探究，筆者教學時首先讓孩子們猜想，從直覺上把握“三角形內角和”。然后出示前人結論——三角形內角和是180度。接著，讓孩子分組交流——用怎樣的辦法驗證？怎樣驗證？驗證時要注意什么？通過小組合作，產生了各種方法。最后全班交流，讓不同方法相互解釋、印證，并讓學生檢視自我數學活動——諸如量角中的測量誤差、折角中的操作不當等。由此豐富兒童的認知策略，開掘兒童的“再創造”潛能。數學教學哲學化實踐是哲學觀牽引下數學教育的自覺實踐。宏觀上，數學教育哲學吁求教師對數學觀、數學教育價值觀進行“哲學反思”和“哲學追問”；微觀上，數學教育哲學吁求教師對數學本體知識進行“哲學考量”，從而讓數學教學內蘊“哲學氣質”。唯如此，方能構筑屬于教師自己的“數學教育哲學”！

作者：汪樹林 單位：江蘇如皋市東陳鎮丁北小學