基于經驗小波變換的機械故障診斷方法研究

　　摘 要: 經驗小波變換(EWT)是一種新的自適應信號分解方法, 該方法繼承了 EMD 和小波分析方法的各自優點, 通過提取頻域極大值點自適應地分割傅里葉頻譜以分離不同的模態, 然后在頻域自適應地構造帶通濾波器組從而構造正交小波函數, 以提取具有緊支撐傅立葉頻譜的調幅-調頻(AM-FM)成分。本文將該方法引用到機械故障診斷中, 提出了一種基于經驗小波變換的機械故障診斷方法, 并與 EMD 方法進行了對比分析。仿真結果表明, 經驗小波變換方法明顯優于 EMD 方法, 能有效地分解出信號的固有模態。與 EMD 相比較, 該方法具有分解的模態少, 不存在虛假的模態, 計算量小, 且在理論上具有易理解性等特點。最后將該方法應用到轉子碰磨故障診斷中, 實驗結果進一步驗證了該方法的有效性, 能夠有效地揭示出碰磨故障數據的頻率結構, 區分碰磨故障的嚴重程度。

　　李志農; 朱明; 褚福磊; 肖堯先， 儀器儀表學報 發表時間：2014-11-15

　　關鍵詞: 經驗小波變換; 固有模態; 故障診斷; 自適應信號分解; 經驗模態分解

　　1 引 言

　　經驗模態分解(empirical mode decomposition, EMD)[1]是由美國國家宇航局美籍華人黃鍔(N. E. Huang)等于 1998 年創造性地提出的一種新型自適應信號時頻分析方法。該方法克服了傳統方法中用無意義的諧波分量來表示非平穩、非線性信號的缺陷, 并具有良好的時頻聚焦性, 特別適用于非線性、非平穩信號的分析處理。目前, 基于 EMD 的機械故障診斷方法取得了很大的進展[2-11]。然而, 隨著對 EMD 方法研究的深入, 其也存在著一些問題, 主要有:

　　1) EMD 是一種經驗性的方法, 它缺乏完備的理論基礎, 比如, 到目前為止, EMD 方法分解所得到 IMF 分量正交性尚未得到理論上的證明。

　　2) EMD 由于收斂條件不合理、過包絡和欠包絡等問題易出現模態混疊。

　　3) EMD 要分解出一個 IMF 分量, 需要進行多次的迭代, 因此, 要得到一個實際信號的所有 IMF 分量需要較長的計算時間。

　　針對 EMD 存在的不足, Gilles[12]結合 EMD 的自適應性和小波分析的理論框架, 提出了一種新的自適應信號處理方法即經驗小波變換 (empirical wavelet transform, EWT)。該方法的核心思想是通過對信號的頻譜進行自適應劃分, 構造合適的正交小波濾波器組以提取具有緊支撐傅里葉頻譜的 AM-FM 成分, 然后, 對提取出的 AM-FM 模態進行 Hilbert 變換, 得到有意義的瞬時頻率和瞬時幅值, 進而可以得 Hilbert 譜。由于 EWT 是在小波框架下建立的方法, 故其理論充分且其計算量遠小于傳統的 EMD 方法。本文將 EWT 引入到機械故障診斷中, 提出了一種基于 EWT 的機械故障診斷方法, 并與 EMD 方法進行了對比分析, 仿真結果驗證了 EWT 方法的有效性。最后, 將該方法成功地應用到轉子不同碰磨嚴重程度的故障數據分析中, 實驗結果進一步驗證了該方法的有效性。

　　2 經驗小波變換

　　經驗模態分解方法的實質是把一個信號 f(t)分解成 N 個本征模態函數(IMF) ck 和殘差 rn 之和:

　　f t cr = = ∑ + (1) 而文獻[13]與原始文獻[1]稍微有所不同, 經驗小波變換的目的是把信號 f(t)分解成 N+1 個本征模態函數 fk(t) 之和: 0 () () N k k f t ft = = ∑ (2) 這里, 一個固有模態函數定義為調幅-調頻信號 (AM-FM): ( ) ( )cos( ( )) kk k f t Ft t = φ (3)

　　式中: () 0 F t k > , () 0 k φ′ t > , 且 Fk 和 ( ) k φ′ t 的變化比φk 慢的多。在 EMD 方法中, 最感興趣的是如何自適應地從原始信號中篩選出調幅-調頻成分 ( ) kf t 。傳統的 EMD 方法由于終止條件不合理、欠包絡和過包絡等問題而造成模態混疊, 并且 EMD 的篩分過程也缺乏可靠的理論依據。為克服此問題, Gilles[12]在 EMD 的基礎上, 結合小波分析, 提出了經驗小波變換方法, 該方法是建立在小波分析的理論框架上, 根據信號的 Fourier 譜特性自適應地選擇一組小波濾波器組來提取信號的不同 AM-FM 成分。為了選擇合適的小波濾波器組, 需要對 Fourier 譜進行自適應地分割。假設將 Fourier 支撐[0,π]分割成 N 個連續的部分, 用ωn 表示各片段之間的邊界, ωn 選擇為信號 Fourier 譜兩個相鄰極大值點之間的中點( 0 ω = 0 , π ωN = ), 如圖 1 所示, 則每段可以表示為:

　　Λ = = Λ = " ∪ (4) 以每個 ωn 為中心, 寬度為 T nn = 2τ 定義了一個過渡段, 如圖 1 所示的陰影區。確定分割區間 Λn 后, 經驗小波定義為每個 Λn 上的帶通濾波器, Gilles 根據 Meyer 小波[14]的構造方法構造經驗小波, 經驗小波函數 ˆ ( ) ψ n ω 和經驗尺度函數 ˆ ( ) ?n ω 定義如下[12]: 1 , | | (1 ) π 1 cos (| | (1 ) ) , ˆ ( ) 2 2 (1 ) | | (1 ) 0 , n n n n n n ω γω β ω γω ψ ω γω γ ω ω γω ? − ? ? ? ?? ? ? ? ? ? − − ? = ? ?? ? ??? ? − + ? ? ? ≤ ≤ ≤ 其他 (5)

　　在 EWT 方法中, 如何分割傅里葉頻譜是至關重要的, 因為它直接關系到自適應分解的結果。不同的頻譜部分對應于以不同特定緊支撐的頻率為中心的模態。除去 0 和 π , 還需要找到 N-1 個邊界。要找到這樣的邊界, 就要確定 N, 文獻[12]給出了一種確定 N 的閾值法, 記 M M ki 1 }{ = 為頻率域范圍內檢測到的極大值點的幅值 , 然后按照遞減的規律排列 ( 1 2 M ≥ ≥ M M... M ) 并且歸一化到 [0 ， 1], 取 1 M MM M + − α( ) M 為閾值, 其中 α為相對振幅比, α ∈(0, 1) , 對于確定的α, 可以令大于閾值的極大值點個數為 N, 并取前 N 個最大的極大值點求邊界。

　　為此, 可以采用類似于傳統的小波變換方法來定義經驗小波變換 (,) e W nt f 。假設傅里葉變換和逆變換分別記為 F[ ]⋅ 和 1 F [ ] − ⋅ , 則細節系數由經驗小波函數與信號內積產生:

　　近似系數通過尺度函數與信號內積產生:

　　式中: ( ) n ψ t 和 1 ? ( )t 分別為經驗小波函數和尺度函數, ˆ ( ) ψ n ω 和 1 ?ˆ ( ) ω 分別為 ( ) n ψ t 和 1 ? ( )t 的 Fourier 變換, 其定義分別為式(5)和式(6), ( ) n ψ t 和 1 ? ( )t 分別表示 ( ) n ψ t 和 1 ? ( )t 的復共軛。原信號重建如下:

　　式中: 符號*表示卷積, ˆ (0, ) e Wf ω 和 ˆ (, ) e W n f ω 分別表示 (0, ) e W t f 和 tnW ),( e f 的 Fourier 變換。經驗模態 tf )( k 定義如下:

　　通過經驗小波變換, 得到一個信號的經驗模態后, 就可以對每個經驗模態函數進行 Hilbert 變換, 從而得到有意義的瞬時頻率和瞬時幅值, 進而得到 Hilbert 譜。

　　3 仿真研究

　　考查如下兩個仿真信號 1x ( )t 和 2x ( )t , 仿真信號 1x ( )t 由調幅調頻信號 11 x ( )t 和調幅信號 12 x ( )t 組成, 其時域波形如圖 2(a)所示。這里, 采樣頻率 Fs=1 024 Hz。采樣點數是 512。

　　仿真信號 2x ( )t 由單調趨勢信號 21 x ( )t , 調頻信號 22 x ( )t 和兩個不同時間段頻率單一的和信號 23 x ( )t 信號組成, 其時域波形如圖 2(b)所示。

　　經驗小波分解的輸出是由一個尺度函數和 N 個小波函數分別濾波的結果。對于信號 1x ( )t 和 2x ( )t , 分別取 N=2 和 N=3。圖 3 顯示出了兩個仿真信號的頻譜和每個濾波器所支撐的已檢測到的邊界。圖 4 為經驗小波變換結果, 為了對比分析, 在此也給出了 EMD 的分解結果, 如圖 5 所示。

　　由圖 4(a)和 5(a)可以觀察到仿真信號 x1(t)的 2 個模態被有效地分解出來, 但是相對于經驗小波變換, EMD 分解出了過多的模態, 且分離出一些本來是相同成份的部分信息, 除了高頻部分, 很難解釋這些原來信號中不存在的虛假模態。由圖 4(b)可知, 經驗小波變換將最初屬于同一個部分的兩個模態分解出來, 因為這兩個模態明顯有各自的能量, 并且可以被視為兩個獨立的模態, 而由圖 5(b)可知, EMD 則分解不出來, 且分解出了過多的虛假模態。因此, 可以得出, 經驗小波變換能夠有效地檢測出頻譜中存在的模態, 并能夠將模態分解出來。理論上, 經驗小波變換有堅實的理論基礎, 可以通過小波變換的方法去理解該方法。然而, EMD 缺乏完備的理論基礎, 例如, 到目前為止, EMD 方法分解所得到 IMF 分量正交性尚未得到理論上的證明, 存在模態混疊問題, 而模態的混疊, 影響了瞬時頻率的表達。EMD 的模態混疊產生的主要原因有以下 3 點: ①從模態分解的終止條件來看, 如果所選用的終止條件不合理, 那么模態分解就會不充分。② 篩選過程中采用了三次樣條插值的方法, 由于三次樣條的欠沖和過沖的缺陷, 同樣也會造成模態之間的混疊。③從信號特性的角度上看, 當信號的時間尺度存在跳躍性變化時, 會產生模態的混疊現象。另外, 傳統的 EMD 方法要分解出一個 IMF 分量, 需要多次的迭代, 計算量大, 而 EWT 是在小波框架下建立的方法, 故其計算量遠小于傳統的 EMD 方法。由此可知, 在處理非線性、非平穩信號方面, EWT方法明顯優于EMD方法。

　　4 實驗研究

　　為進一步驗證經驗小波變換的有效性, 將經驗小波變換應用到雙盤轉子的碰磨數據的分析中, 碰磨轉子實驗臺如圖 6 所示[15], 轉子由電動機驅動, 軸承為滑動軸承, 用非接觸式電渦流傳感器測量垂直與水平方向的振動。

　　轉子徑向碰摩故障通過以下裝置來模擬, 通過置換不同內徑的定子, 可以模擬不同程度的碰摩故障, 如圖 7 所示[15]。

　　在轉速為 3 000r/min工況下, 采樣頻率為 1.6 kHz, 采樣點數為 1 024。利用傳感器獲得的兩種不同碰磨程度下的振動信號及其頻譜圖, 分別如圖 8, 9 所示。對碰磨數據進行經驗小波變換, 取相對振幅比α=0.15, 其每個濾波器所支撐的已檢測到的邊界如圖 9 所示, 經驗小波變換的結果如圖 10 所示, 經驗小波 Hilbert 譜如圖 11 所示。

　　由圖 9(a)可知: 輕微碰磨發生時, 信號的頻譜圖主要顯示的是 1X 和 2X 倍頻, 而其他倍頻成分在頻譜圖上則顯得很小。由圖9(b)可知: 嚴重碰磨發生時, 信號的頻率成分顯得很豐富, 且在頻譜圖上顯得也很大。然而在頻譜中, 并不能反映出信號的頻率隨時間變化的特點。

　　從圖 9 中可以看出, 時頻圖得到了很好的分割, 主要的倍頻都處于支撐邊界的中間, 且嚴重碰磨的分割段數 N 比輕微碰磨大。從圖 10(a)可以看出, 輕微碰磨時, 高階頻率分量F3表現為周期性的沖擊信號, 但相對于低階頻率分量明顯非常微弱, 從圖 11(a)可知, 輕微碰磨的 Hilbert 譜在 1X 和 2X 分量反映明顯, 幅值基本上比較穩定, 且持續存在, 而在高階部分主要集中在 6X 和 8X 之間, 且十分微弱, 都是周期性地被激發。從圖 10(b)可以看出, 嚴重碰磨時, 倍頻成份十分豐富, 且高階頻率分量的幅值也很大, F5、 F7、F8、F9 高階頻率分量都表現出了一定的沖擊特性, 從圖 11(b)可知, 嚴重碰磨的 Hilbert 譜不僅在 1X, 2X 頻率成份持續存在, 而且在 3X 和 5X 分量持續存在, 且幅值基本保持不變, 在更高階頻率成份反映的也比輕微碰磨時更加明顯, 并且較有規律地間斷地出現。

　　通過以上分析可知, EWT 變換能夠按照頻率特征有效的從低頻到高頻自適應地分解碰磨故障信號。Hilbert 譜能夠很好的反映出碰磨故障的嚴重程度, 揭示出碰磨故障的頻率特征結構。當故障為輕微碰磨時, 低階頻率分量持續存在, 且幅值基本保持不變, 高階頻率分量則很微弱, 隨著碰磨嚴重程度的增加, 低階頻率分量依然持續存在, 更高階的頻率成份的幅值則會周期性變化, 并且幅值明顯增大。

　　5 結 論

　　經驗小波變換(EWT)是一種剛剛興起的新的自適應信號分解方法, 其核心思想是通過對信號的頻譜進行自適應地劃分, 構造合適的正交小波濾波器組以提取具有緊支撐傅里葉頻譜的 AM-FM 分量, 然后, 對提取出的 AM-FM 模態進行 Hilbert 變換, 得到有意義的瞬時頻率和瞬時幅值, 進而可以得 Hilbert 譜。本文詳細地介紹了 EWT 方法, 并將該方法引用到機械故障診斷中, 提出了基于經驗小波分解的機械故障診斷方法, 并進行了仿真和實驗研究。仿真結果表明, 提出的方法明顯優于傳統的 EMD 方法, 其優越性主要表現在以下幾方面:①EWT 方法能有效地分解出信號的固有模態, 該方法分解的模態少, 不存在難以解釋的虛假模態; 而 EMD 分解呈現太多的模態, 而且由于過包絡和欠包絡等問題易出現模態混疊。②EMD 是一種經驗性的方法, 缺乏完備的理論基礎, 比如, 到目前為止, EMD 方法分解所得到 IMF 分量正交性尚未得到理論上的證明。而 EWT 有堅實的理論基礎, 可以通過經典的小波形式來理解。③ EMD 要分解出一個 IMF 分量, 需要多次的迭代, 要得到一個實際信號的所有 IMF 分量需要較長的時間; 而 EWT 是在小波框架下建立的方法, 故其計算量遠小于傳統的 EMD 方法。最后, 將提出的方法應用到轉子碰磨故障診斷中, 實驗結果表明, 該方法能夠有效地揭示出碰磨故障數據的頻率結構, 區分碰磨故障的嚴重程度。作為一種嶄新的自適應時頻分析方法, EWT 方法畢竟還有不完善的地方, 例如, 如何有效地實現 Fourier 譜分割, 經驗模態分解與其他小波變換方法結合等問題, 這將是今后需要進一步研究的方向。