一、微積分發(fā)明的歷史
人類在歷史長(zhǎng)河的漫長(zhǎng)積累中創(chuàng)造了輝煌的現(xiàn)代文明，任何一次科學(xué)的飛躍以及技術(shù)的突破，都是歷經(jīng)數(shù)代乃至數(shù)十代人的共同努力而成的。誠(chéng)如微積分的發(fā)明者之一牛頓所言“：如果說(shuō)我看得比別人更遠(yuǎn)一些，那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募绨蛏稀?rdquo;早在三國(guó)時(shí)期（公元263年），數(shù)學(xué)家劉徽就提出“割圓術(shù)”的思想：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。”大意就是我們可以用一個(gè)與圓內(nèi)接的正多邊形來(lái)近似描述一個(gè)圓形，在多邊形的邊數(shù)較少的情況下，這種近似的誤差較大，不過(guò)這種誤差在邊數(shù)不斷增加的情況下將會(huì)逐漸減少，最終消失。割圓術(shù)在分割的過(guò)程中用到的是基礎(chǔ)的幾何與代數(shù)，形象而又直觀。不過(guò)它最重要的價(jià)值是在于提出了一種極限的思想萌芽，告訴我們可以通過(guò)逼近的手段得到一個(gè)任意精確度的結(jié)果。極限的概念和物理中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有著非常密切的關(guān)聯(lián)。一般而言，一個(gè)宏觀質(zhì)點(diǎn)在空間中的運(yùn)動(dòng)一定是有時(shí)間連續(xù)性的，也就是說(shuō)，該質(zhì)點(diǎn)的位置、速度以及加速度都是隨著時(shí)間不斷地進(jìn)行著連續(xù)過(guò)渡，這些物理量在某個(gè)時(shí)刻的前后并不存在跳躍變化。從極限的角度來(lái)理解那就是：若一個(gè)時(shí)刻與下一個(gè)相鄰時(shí)刻之間的間隔可以被無(wú)限小地逼近，那么在這個(gè)時(shí)間間隔里這些物理量的相應(yīng)變化也應(yīng)該是無(wú)限微小的。牛頓將這兩個(gè)無(wú)限小量的比值與運(yùn)動(dòng)學(xué)的定義結(jié)合起來(lái)，使得無(wú)限微分的概念有了一個(gè)明確的物理原型。而后，微分的逆過(guò)程又和求變速運(yùn)動(dòng)、變力做功等問(wèn)題產(chǎn)生直接對(duì)應(yīng)，牛頓-萊布尼茲公式在解決這些問(wèn)題上發(fā)揮了重要作用。至此，微積分的理論基石被完全奠定，經(jīng)典力學(xué)的結(jié)構(gòu)也由此日趨完整。
二、微積分的思想方法
微積分的思想包含了有限與無(wú)限、近似與精確的辯證統(tǒng)一。這種統(tǒng)一在數(shù)學(xué)上已經(jīng)得到了嚴(yán)格的證明，因此在物理學(xué)特別是經(jīng)典物理學(xué)的范疇內(nèi)，微積分已成為一種重要工具用于描述并解決各類物理問(wèn)題。我們以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中“變力做功”這一經(jīng)典問(wèn)題為例，來(lái)闡述微積分的思想以及方法。在中學(xué)物理中，我們已經(jīng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中力的做功有了明確的定義，即力與質(zhì)點(diǎn)沿著該力方向所發(fā)生位移的乘積。根據(jù)這一定義，可以直接獲得直線運(yùn)動(dòng)情況下恒力的做功。可是一旦涉及到更一般的情況，如運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作用于質(zhì)點(diǎn)上的力不斷隨著質(zhì)點(diǎn)所處的空間位置而變化，之前的定義就會(huì)遇到困難。此時(shí)，運(yùn)用有限元近似的處理方法將成為一種解決的可能。我們可將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡分割為有限數(shù)量的小段，每一個(gè)小段都近似為直線段；另一方面，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的每一小段長(zhǎng)度都很小，所以在同一個(gè)小段內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位置改變不明顯，所受到的力可以近似看成一個(gè)恒力。于是利用之前的做功定義，可以得到質(zhì)點(diǎn)在任意一個(gè)小段內(nèi)受到的外力做功的近似值，將這些近似值進(jìn)行累加就獲得總功的近似值。值得一提的是，通過(guò)這種方法得到的近似值與精確值之間的誤差是可以控制到任意小的，只要我們將軌跡分割到足夠短、數(shù)量足夠多即可，這一點(diǎn)與前述“割圓法”是類似的。微積分在思想上的重要突破就是：當(dāng)這種分割持續(xù)到無(wú)限，每個(gè)小段的長(zhǎng)度都任意小的時(shí)候，對(duì)無(wú)限多個(gè)微小量的求和數(shù)值是收斂的！而且該收斂的數(shù)值就是變力做功的精確值。于是，初等數(shù)學(xué)的求和計(jì)算就過(guò)渡到了定積分。
眾所周知，定積分的計(jì)算包含被積函數(shù)、積分變量、積分上下限等基本要素，在“變力做功”的例子中，這些基本要素均可以找到一一對(duì)應(yīng)的物理內(nèi)容。因?yàn)榱κ强臻g位置的函數(shù)，而空間位置的變化則體現(xiàn)在每一段無(wú)窮小的位移量上，這二者的點(diǎn)乘積即為做功的微元，這些微元的累積代表總功。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的終點(diǎn)和起點(diǎn)分別由定積分的上、下限來(lái)表示。現(xiàn)在“，變力做功”這個(gè)初等代數(shù)解決不了的問(wèn)題已經(jīng)完全轉(zhuǎn)換成了一個(gè)定積分計(jì)算。定積分實(shí)際上就是無(wú)限微分（即求導(dǎo)數(shù)）的一個(gè)逆過(guò)程。一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以按下列步驟來(lái)演算：首先假設(shè)函數(shù)的自變量產(chǎn)生一個(gè)有限大小的增量，則函數(shù)也隨之產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的變化量，可得變化量與增量的比值，再求得該比值在增量趨近于零時(shí)候的極限，就得到了導(dǎo)數(shù)函數(shù)，之前的函數(shù)則稱為該導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)。牛頓-萊布尼茲公式告訴我們：對(duì)導(dǎo)數(shù)函數(shù)求定積分等效于求其原函數(shù)在上、下限的函數(shù)值之差。所以在“變力做功”的問(wèn)題上，只要能找到力函數(shù)的原函數(shù)，就意味著存在解析解。
三、從微積分的角度看物理問(wèn)題
微積分思想方法的應(yīng)用，極大地拓展了分析各類物理問(wèn)題的范圍。在中學(xué)物理中，很多的物理量是通過(guò)兩個(gè)或者多個(gè)物理量的乘積來(lái)定義的。如位移可表示為速度與時(shí)間間隔的乘積，速度可表示為加速度與時(shí)間間隔的乘積，做功可表示為力與位移的乘積，電勢(shì)可表示為電場(chǎng)強(qiáng)度與空間距離的乘積，磁通量可表示為磁感應(yīng)強(qiáng)度與面積的乘積等等。在這類乘法定義中，均是采用一個(gè)恒定量乘以某段時(shí)間間隔或空間（可以是一維、二維或三維）間隔。在經(jīng)典物理的框架內(nèi)，時(shí)間與空間都是連續(xù)且均勻變化的，而恒定的物理量并不隨著時(shí)空的變化而變化。這些顯然都是特殊情況，是為了讓初次接觸物理者盡快建立起相應(yīng)的物理概念而設(shè)定的。一般情況下，我們所討論的物理量均是以時(shí)間和空間為基本變量的函數(shù)，類似“變力做功”，這些問(wèn)題只能通過(guò)微積分的方法來(lái)進(jìn)行求解。由微積分的思維方式理解物理問(wèn)題的關(guān)鍵在于：采用無(wú)窮多次的分割，將目標(biāo)物理量分解為微小的單元量，每一個(gè)單元量都與中學(xué)物理的定義相互對(duì)應(yīng)，最后對(duì)這些單元量進(jìn)行累積。
實(shí)際上，這種計(jì)算方法是非常直觀明確的，它們均是建立在物理學(xué)的基本定義之上。在寫(xiě)出積分表達(dá)式后，如果被積的函數(shù)是一個(gè)恒量，由提取公因子可知這個(gè)恒量可以放在積分號(hào)的外面，于是中學(xué)物理中的各類定義就能得以重現(xiàn)。如果被積函數(shù)是一些常見(jiàn)的函數(shù)，此時(shí)微積分的計(jì)算就會(huì)顯示出它的強(qiáng)大功能。當(dāng)然，有一些較復(fù)雜的函數(shù)不容易找到其原函數(shù)的解析表達(dá)式，這時(shí)候可能需要運(yùn)用到一些積分的運(yùn)算技巧，如分部積分、換元法等等。即使這些技巧無(wú)效，在計(jì)算機(jī)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的今天，這些困難也都可以找到解決方案。“數(shù)值定積分”的算法思想就是將函數(shù)的積分區(qū)間等間距分割為N個(gè)點(diǎn)，將這N個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值代入被積函數(shù)將得到N個(gè)函數(shù)值，這些函數(shù)值的總和乘以積分區(qū)間上相鄰兩點(diǎn)的距離就是積分的數(shù)值結(jié)果。只要讓N的數(shù)值足夠大，最后的結(jié)果與精確值之間的誤差就會(huì)任意小。所以，在大學(xué)物理課上講解微積分，主要是培養(yǎng)學(xué)生掌握這種分析問(wèn)題的思維習(xí)慣，不應(yīng)該讓繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算阻礙他們看清問(wèn)題的本質(zhì)。
四、總結(jié)
總的來(lái)說(shuō)，以形象直觀的物理模型為載體，將微積分的思想方法融入各類物理問(wèn)題的講解中，有助于學(xué)生更快地理解并掌握這一高等數(shù)學(xué)的方法，同時(shí)強(qiáng)化了對(duì)經(jīng)典物理理論體系的認(rèn)識(shí)。采用微積分計(jì)算，中學(xué)物理的大量公式（除了基本定義）均可推導(dǎo)出來(lái)，這將進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心與熱情，對(duì)學(xué)生自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)具有重要的促進(jìn)作用。
作者：歐聰杰 單位：華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院