一、數(shù)學(xué)方法及猜想思維方法

(一)數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)方法，有時(shí)又稱(chēng)“數(shù)學(xué)思想方法”和“數(shù)學(xué)思維方法”，所表達(dá)的是指在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過(guò)程中所使用的思維方法。張奠宙先生在其《數(shù)學(xué)方法論稿》中，提出了數(shù)學(xué)思想方法的四個(gè)層次：…

第一，基本的和重大的數(shù)學(xué)思想方法，如模型化方法、微積分方法、概率統(tǒng)計(jì)方法等，主要是可以應(yīng)用這些方法來(lái)研究生活世界的某一領(lǐng)域的問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型方法主要處理實(shí)踐與認(rèn)識(shí)的關(guān)系，基于實(shí)踐的基礎(chǔ)之上形成的一種數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)；數(shù)理邏輯處理原岡與結(jié)果的關(guān)系問(wèn)題；幾何方法處理時(shí)問(wèn)與空問(wèn)的問(wèn)題‘微積分處理運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)系問(wèn)題等。

第二，與一般科學(xué)方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，如類(lèi)比、分析綜合、歸納演繹等。

第三，數(shù)學(xué)學(xué)科特有的方法，如數(shù)學(xué)等價(jià)、數(shù)學(xué)表示、公理化、數(shù)形轉(zhuǎn)換等。

第四，中學(xué)數(shù)學(xué)中的解題技巧，如形式化原則、簡(jiǎn)單性原則、等價(jià)交換原則、映射反映原則等。

從這四個(gè)層次看，我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，最多達(dá)到了第四層，就是在教學(xué)過(guò)程中，教給學(xué)生一些解題的方法與技巧，而其他三類(lèi)思想方法很少涉及，而這砦卻恰恰是形成數(shù)學(xué)的學(xué)科意識(shí)和能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的發(fā)展與應(yīng)用的重要的方法，但在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中忽視了。我們的學(xué)生只知道做題，只知道做別人給出的題，而不會(huì)自己提出問(wèn)題，即使哪怕僅僅只是一個(gè)猜測(cè)性的假設(shè)，不會(huì)應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)踐中的問(wèn)題。從這點(diǎn)來(lái)看，我國(guó)中小學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)思維水平實(shí)際上是很落后的。

(二)猜想思維方法

猜想是眾多數(shù)學(xué)思維方法中的一種，具有數(shù)學(xué)思維的特性。而“所謂數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的形式，達(dá)到對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的一般性的認(rèn)識(shí)的思維過(guò)程”【2J。在這一定義中，非常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要性。事實(shí)上，正是由于有了問(wèn)題，于是才有了猜想的必要性。而又由于問(wèn)題難以直接解決，于是猜想變成了解決問(wèn)題的第一步。這既表現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，又為后續(xù)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供了動(dòng)力和規(guī)劃了方向。

但數(shù)學(xué)猜想并不是天馬行空地亂猜，“數(shù)學(xué)猜想是依據(jù)某些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)事實(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系作出的似真判斷。”【3o在形成數(shù)學(xué)猜想的過(guò)程中，需要依據(jù)長(zhǎng)期積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)事實(shí)，在綜合運(yùn)用各種形象思維與邏輯思維方法的前提下形成，表現(xiàn)出深刻的想象力和洞察力。

猜想是直覺(jué)思維的結(jié)果。“直覺(jué)思維是指不受同定的邏輯規(guī)則束縛，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式。”Hj這種本質(zhì)大體上包括數(shù)學(xué)中可能隱含的整體性、次序性、和諧性特征。直覺(jué)思維的一個(gè)主要特征是能夠越過(guò)邏輯推理的束縛而直接作出某種預(yù)見(jiàn)和判斷。在直覺(jué)思維中，人們以已有的知識(shí)為根據(jù)，以對(duì)某一問(wèn)題的長(zhǎng)期深入的思考為基礎(chǔ)，憑直覺(jué)對(duì)研究的問(wèn)題提出某種合理的猜測(cè)，往往表現(xiàn)為突然的認(rèn)識(shí)與領(lǐng)悟。

(三)猜想思維方法的重要性

猜想思維方法是數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域乃至自然科學(xué)領(lǐng)域一種承要的思維方法，可以說(shuō)，沒(méi)有猜想，就沒(méi)有數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的發(fā)展和突破。牛頓有一句名言：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”【53當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家波利啞也非常重視猜想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的作用。他指出：“要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，必須首先是一個(gè)好的猜想家。”【6J“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得猜測(cè)證明的思路，只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩?rdquo;【7o因此，猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中構(gòu)成了邏輯分析的前提和基礎(chǔ)，猜想為邏輯分析活動(dòng)提供了動(dòng)力并規(guī)劃了方向，成為邏輯分析得以開(kāi)展的基礎(chǔ)。如此下去以實(shí)現(xiàn)猜想的證實(shí)與證偽。證實(shí)，則獲得一個(gè)新的定理或理論；證偽，則激勵(lì)進(jìn)入一個(gè)新的假設(shè)環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)就是在這樣一個(gè)不斷的證實(shí)與證偽的過(guò)程中持續(xù)下去。

比如一元二次方程和三次四次方程都能用根式求解，于是人們猜想一般的n次方程都能用根式求解。然而這一猜想是不正確的，為了否定這一猜想，數(shù)學(xué)家伽羅左首創(chuàng)“群論”這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，阿貝爾則以此為基礎(chǔ)證明了五次及五次以上的方程小能用根式求解。數(shù)學(xué)就是在這樣猜想與證實(shí)或證偽的過(guò)程中不斷開(kāi)拓新的領(lǐng)域。而著名的哥德巴赫猜想則至今激勵(lì)著無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者在數(shù)學(xué)的王國(guó)里艱難地遨游著。

由此看來(lái)，在數(shù)學(xué)的發(fā)展和研究領(lǐng)域中最重要的不是證明，而是猜想!如果沒(méi)有猜想，何來(lái)證明?相對(duì)于證明而占，猜想永遠(yuǎn)具有優(yōu)先性!

能夠提出一個(gè)具有深遠(yuǎn)影響力的猜想，無(wú)論真或者偽，都足以在數(shù)學(xué)界取得相當(dāng)?shù)牡匚?。又有誰(shuí)會(huì)懷疑哥德巴赫在數(shù)學(xué)界的地位呢?要有原創(chuàng)，首先必要有猜想。自古概莫能外!

二、猜想思維方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的培育

“一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家會(huì)根據(jù)自己的數(shù)覺(jué)，運(yùn)用科學(xué)方法，提出好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，設(shè)定數(shù)學(xué)猜想，以便深入地工作。問(wèn)題選得好壞，猜想是否合適，是決定數(shù)學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)水平高低的分野。”【81而一個(gè)在中小學(xué)階段只知道做題的學(xué)牛長(zhǎng)大后是無(wú)法期望他具備這種問(wèn)題意識(shí)和猜想意識(shí)的。因此，在中小學(xué)階段，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，培養(yǎng)學(xué)生以猜想和證明來(lái)解釋數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)意識(shí)，目前，在我國(guó)顯得尤為重要。具體而言，可以通過(guò)歸納和類(lèi)比來(lái)形成猜想的意識(shí)和能力。

(一)歸納

1．完傘歸納法