一、概念界定

數學在本質上研究的是抽象了的東西。而這些抽象了的東西來源于現實世界，是被人抽象出來的。

1．抽象的含義

所謂抽象，通常是指從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征．而舍棄其非本質特征的思維過程。要抽象就必須進行比較，沒有比較就無法找到在本質上共同的部分。

共同特征是指那些能把一類事物與他類事物區分開來的特征，又稱本質特征。因此，抽取事物的共同特征就是抽取事物的本質特征，舍棄非本質的特征。而抽象的過程也是一個概括、分離和提純的過程。

2．數學抽象的含義及其作用

“數學在本質上研究的是抽象的東西州“，這個命題，從古至今，無論是數學家還是哲學家幾乎都沒有異議。數學抽象是一種特殊性的抽象，其特殊性表現為，數學抽象的對象是“空問形式和數鍵關系”．不管是現實世界中的“數跫關系和空間形式”還是思維想象中的“數量關系和空間形式”，都屬于數學研究的范疇_1。也就是說，數學抽象的對象既可以是現實世界中的空間形式和數量關系，也可以是數學思維中的空問形式和數昔關系。關于數學抽象的作用，史寧中教授指出，真正的知識是來源于感性的經驗、通過直觀和抽象而得到的，并且。這種抽象是不能獨立于人的思維麗存在的-“。

在數學中．抽象是思維的基礎，只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認識中獲得事物(事件或實物)的本質特征，從而上升到理性認識。這既是一個獲取知識的過程．又是一個研究的過程．這個過程對于所有學科的學習都是非常重要的。

二、數學抽象的一般步驟

數學抽象具有不同的階段性。簡約階段、符號階段、普適階段．是數學抽象的三個基本階段㈠。簡約階段．即把握事物的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，并能夠清晰地表達．，符號階段，即去掉具體的內容．利用慨念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的事物住內的一類事物。

普適階段，即通過假設和推理建移法則、模式或者模型。并能夠在一般的意義上解釋具體事物。

三、數學抽象在數學教學中的應用

在數學教學中．數學抽象具有鮮明的層次性，正如康德在他的巨著《純粹理性批劃》中所指出的，人類的一切知識都是從直脫開始，從那咀進到概念，而以理念結束“。學生的學習也足這樣．必須從學生的現實開始，逐步過渡到數學的高級抽象。

教學層商的數學抽象基本遵循數學抽象的層次性，但有其更深刻而具體的表現，其梯瞧和層次性更強：

1．實物層面的抽象

這個層【蔚的抽象(過程)，實際一1-．是芷足已有的生活經驗和社會現實，進行第一步抽象．即以實物為對象進行抽象．到剛剛超越實物而尚未完全脫離實物即結束。

案例l小學自然數的“蔭位數加一位數的進位加法”的“十位”的抽象：27+5=?借助于“十個雞蛋一盒”這個非常現實的經驗．學生已經有相對豐富的類似經驗或經歷，27表示兩盒雞蛋．另有一盒不滿的雞蛋(即盒子里有7個雞蛋．這意味著空著3個窄位)，另有5個雞蛋。一共幾個雞蛋呢?借助生活經驗，學生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來．填補在第j盒雞蛋的3個宅位上．即將空位補齊，湊成一整盒，余下2個雞蛋。

這就是，將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而，結果是32，這是最樸素的“湊十進位”，而這里的“一(整)盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。

2．半符號層面的抽象

這個階段實際上是簡約階段的一種．是建立在實物抽象的摹礎之上的進一步發展。此時，有關的屬性已經從實物中“提取”出來、抽象出來，仁l是．并沒有完全脫離實物，或者更確切地說．是部分屬性“脫離”了實物，而其中的關鍵屬性已經初見端倪。

案例2“圓”的概念的抽象過程，就需要多個層面的抽象：初升的太陽．十五的月亮、水中的波紋……都能給人以圓的形象，這是“圓”概念抽象的第一步．屬于實物商觀層面的第一次抽象；而從太陽、月亮、波紋等具體的實物模型中，抽象出集中刻I毋J圓的形狀特點的一般概念．即幾何中圓的定義“到定點的距離等于定長的點的集合”則是實物直觀層面的第二次抽象。

紙片研究網的摹本性質．則是“圓”的半符號層面的抽象，屬于更高層斷的抽象，此時的“圓紙片”看得見、摸得著，已經是具有鮮明的“圓”的特征。只不過，數學中的“網”是沒有厚度的，只是一個縫補曲線，其邊緣沒有厚度、不包括邊緣線所圍的區域。而這種東西在現實中并不存在。畢竟，數學中的“圓”是對客觀現實中的大量原型的抽象。

3．符號層面的抽象

即已經去掉_r具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化r的事物在內的一類事物。

符號層面的抽象具有典型的階段性、層次性，因而，有的學者(如徐利治先牛)將其定義為“抽象度”的概念“，即，從實物抽象開始，到達半符號抽象，進而達到符號層面的抽象。而以后的抽象會以卜一級抽象的結果為對象．進行進一步的抽象．達到一個新的抽象高度。例如．在自然數抽象的基礎上，進一步抽象得到分數．再抽象得到有理數．再抽象得到實數；以實數為對象再抽象．得到代數式，以代數式為對象的再抽象得到函數。如此，形成逐級抽象的概念體系。