空間引力波探測激光外差干涉信號模擬系統

　　摘 要：由于激光外差干涉測量系統光機平臺無法模擬多普勒頻移，并且商用信號發生器無法實現多種類、高復雜度的星間外差干涉信號模擬，不能對空間引力波探測的相位計進行全面測試。通過分析外差干涉信號的特性，研究信號模擬系統的實現原理及方法，設計了空間引力波探測激光外差干涉信號模擬系統。首先，應用直接數字合成器(DDS)模擬外差干涉信號。其次，通過頻率偏移方式模擬多普勒效應，應用混合同余算法生成散粒噪聲并調制到外差干涉信號中。最后，基于FPGA搭建系統硬件平臺，通過示波器及頻譜分析儀分析生成信號的時頻特性。實驗結果表明，信號模擬系統在2~20 MHz的頻率范圍內雜波抑制度為-53 dBc，諧波(二次)抑制達到-47 dBc，生成信號的時頻特性符合理論預期，滿足空間引力波探測相位計的地面測試需求。

　　韓爽; 佟珺澤; 王振鵬; 于濤; 隋延林， 紅外與激光工程 發表時間：2021-09-18

　　關鍵詞：信號模擬;空間引力波探測;激光干涉測量

　　0 引言

　　2016 年 2 月，美國的地基激光干涉引力波天文臺(LIGO)公開了人類歷史上第一次直接探測到的引力波結果[1] ,但受到地面的臂長限制以及地表低頻震動的影響，有效探測頻段均在 1 Hz 到 1 kHz 的高頻段上[2]。在空間進行引力波探測可以探測到引力波資源更為豐富的中低頻段[3-4]，目前的空間引力波探測計劃主要有美國 NASA 和歐洲 ESA 合 作 的 LISA ( Laser Interferometer Space Antenna)計劃[5]以及中國的“太極”計劃[6]和“天琴”計劃[7]，且均已經通過技術驗證衛星完成了部分關鍵技術的測試[8-11]。

　　“太極計劃”預計發射三顆衛星在太空中組成臂長 300 萬公里的等邊三角形編隊，通過測量相位的方式推導出測試質量間的位移變化，以此來反演引力波信息[12]。實現相位測量功能的載荷稱為相位計，要求在 0.1 mHz~1 Hz 的頻率范圍內相位測量精度優于 [6,13]。根據空間引力波探測的任務需求，激光鏈路需要同時具備測試質量的相對位移測量、時鐘邊帶調制、激光測距通信等功能[2,14]，因此相位計需要同時對主載波拍頻、時鐘邊頻、導頻以及測距通訊編碼進行處理，過程復雜且精度要求極高。因此，在地面上對相位計進行全面測試是完成空間工程任務的重要基礎。

　　目前國內外針對空間引力波探測相位計的研究主要集中在單項功能及性能測試，各個單項功能的測試信號主要由激光外差干涉測量光機平臺生成或采用商用信號發生器模擬[12,14]。相位計的全功能集成研究正處于起步階段，但是激光外差干涉測量系統光機平臺狀態更改難度大，無法全面模擬在軌各工況下的噪聲，且無法實現多普勒頻移。商用信號模擬器不能實現多種類、高復雜度的星間外差干涉信號模擬，均不能滿足相位計全面測試的需求，因此需要設計空間激光外差干涉信號模擬系統。

　　目前國內外僅阿爾伯特·愛因斯坦研究所(Albert Einstein Institute in Hannover，AEI)的 Iouri Bykov 為 LISA 的相位測量系統設計了專用的信號模擬器，但是并沒有專門的文獻對設計過程及原理進行描述[15,16]。

　　基于相位計的地面測試需求，分析外差干涉信號的特性，研究信號模擬系統的實現原理及方法，設計了空間引力波探測激光外差干涉信號模擬系統(簡稱信號模擬系統)。信號模擬系統能產生三個獨立的參數可調的正弦信號、PRN 序列脈沖信號、多普勒變頻信號以及功率譜恒定的白噪聲等多種信號源，頻率覆蓋范圍 2~20 MHz。該系統在現場可編程門陣列(Field Programmable Gate Array, FPGA)中實現，通過 RS422 與 PC 端通信，支持 PC 端更改模擬的信號參數，具有可編程性強、操作簡單等優點。通過示波器及頻譜分析儀驗證了模擬信號的時頻特性，實驗證明，該信號模擬裝置模擬的信號符合理論預期，滿足相位計的地面測試需求。

　　1 空間引力波探測原理及信號特性

　　1.1 空間引力波探測原理

　　空間引力波探測激光外差干涉原理如圖 1 所示。兩衛星分別載有獨立的激光光源(激光 1 和激光 2)，衛星 2 接收來自衛星 1 發出的激光 1，在衛星 2 上的測試質量 2 反射后與激光 2 發生干涉，通過 四 象 限 光 電 探 測 器 ( Quadrant Photoelectric Detector，QPD)轉化為電信號。通過相位計讀出激光 2 和接收激光的相位差，應用弱光鎖相的方式將激光 2 和接收激光進行差頻相位鎖定，使激光 2 攜帶接收激光的相位信息。將鎖定后的激光 2 向衛星 1 發射，經衛星 1 的測試質量 1 反射后與激光 1 發生干涉，則外差干涉信號中包含了兩衛星間測試質量的距離變化信息[12]。通過相位計測量衛星 1 中激光干涉信號的相位變化，就可以反演由引力波所引起的測試質量間的距離變化。相位變化與距離變化之間的關系式為：

　　式中 為相位變化， 為測試質量間距離變化， 為應用的激光波長。

　　1.2 空間激光外差干涉信號的特性

　　空間激光外差干涉信號(簡稱外差干涉信號)的主體信號包括主載波拍頻、兩個時鐘邊頻以及測距通信編碼。引入的關鍵噪聲包括多普勒頻移以及散粒噪聲。

　　1.2.1 空間激光外差干涉信號的主體信號

　　a、主載波拍頻與時鐘邊頻

　　M.Tinto 等人提出將振蕩器的時鐘噪聲信號倍頻并通過電光調制器(Electro-Optic Modulator， EOM)調制到載波激光相位上，在產生的時鐘邊頻信號中提取出時鐘噪聲，進而在時間延遲干涉技術(Time-Delay Interferometry，TDI)的數據組合中消除[17]。為了不影響科學信息的順利讀出需要保留強載波信號，只有 10%的激光功率能用于時鐘邊帶傳輸，且時鐘邊頻的頻率與主載波拍頻的頻率至少需要相差 1 MHz 來保證三個拍頻信號的頻率可以分別被相位計捕獲。由于多普勒頻移的存在，“太極計劃”預計主載波拍頻頻率保持在 3 MHz~19 MHz 的頻率范圍內，時鐘邊頻的頻率范圍為 2 MHz~20 MHz[13]。

　　b、通信測距編碼

　　應用直接序列擴頻(Direct Sequence Spread Spectrum，DS/SS)方案實現激光測距通信功能。該方案將[0,1]序列形成的偽隨機噪聲(PseudoRandom Noise，PRN)碼與較低速率的數據信號進行異或編碼后，應用 BPSK 原理相位調制在載波激光中[14]。測距通信應用的 PRN 碼為偶數長度， 1024 個碼片為一個周期，且每一組 PRN 碼的自相關性在對準時刻出現峰值，其余時刻接近于 0。這樣可以在接收端的相位計中應用 PRN 序列的時間對準進行解調處理，讀出數據信息并確定延遲時間，進而計算出航天器間的絕對距離。

　　如圖 2 所示為空間引力波探測測距通信系統的設計參數，系統時鐘為 70 MHz，PRN 碼片速率為 2.2 MHz ( 70 MHz/32 )， 與 約 34 kbps ( 2.2 MHz/64)的數據進行編碼后，得到頻率約 2.1 kHz 的一個序列周期，該周期中包含了 1024 個 PRN 碼片，攜帶了 16(1024/64)個數據信息。為了不影響科學測量，測距通信編碼僅占整體功率的 1%。

　　1.2.2 空間激光外差干涉信號中的關鍵噪聲

　　空間引力波探測任務中對主體信號影響最大的關鍵噪聲來源為多普勒頻移和散粒噪聲。

　　a、多普勒頻移

　　由于軌道動力學，航天器間會產生相對速度，在信號中引入多普勒頻移 ，近似為：(2)其中， 是本地激光的發射頻率。 是航天器間視線速度，c 為光速。系統工作時，衛星 1 與衛星 2 發射的激光頻差預先確定，由于多普勒效應的影響衛星 2 接收到的光信號將會發生頻率變化。根據“太極計劃”目前的軌道估算出的多普勒頻移的變化速率約為 1~3 Hz/s[13]，在“太極計劃”的五年工作壽命中，這種由于多普勒引起的頻率變化約為 ±5 MHz[13]。接收端的相位計通過頻率捕獲功能可以獲取受多普勒效應影響的外差信號的頻率，其結果可以消除多普勒頻移的影響，使相位計可以讀出外差信號的相位。

　　b、散粒噪聲

　　散粒噪聲是光學測量中最基本的噪聲之一，從統計物理可知，激光器發射的光子數目本身是有漲落的，這種漲落服從泊松分布，QPD 檢測到光子的統計相位分布會引入散粒噪聲[3]。

　　假設激光功率為 P，單位時間光子數為 N，光子數 服從泊松分布，激光的相位漲落 和光子數漲落存在關系：其中， 為 QPD 的響應度， 為跨阻抗放大器的增 益， 是光電 二極 管的段 數( QPD 中 =4)， 和 分別是接收的信號光功率和本地激光功率， 為外差干涉效率， 表示第一類第 k 階貝塞爾函數， 為相位調制指數，在此小調制指數下，貝塞爾函數僅保留 和 項。、 、 分別為主載波拍頻以及上下時鐘邊頻的頻率， 為多普勒頻移引起的頻率變化， 、、 分別為主載波拍頻、上下時鐘邊頻的相位，其中包含科學信息。 代表測距通信調制指數。 為二進制[0,1]序列組成的 PRN 碼，脈沖形狀由周期 的 給出。 代表散粒噪聲。

　　其中 為普朗克常數，f 為激光頻率。雖然散粒噪聲可以寫作函數形式，但實際上呈現出具有平功率譜密度的白噪聲分布。

　　根據 QPD 輸出的光電流與接收的干涉光功率成正比的性質，去掉 QPD 不能響應的高頻部分并忽略直流分量，經跨阻抗放大器(Trans-Impedance Amplifier，TIA)輸出的單個象限段電壓公式為：

　　2.空間激光外差干涉信號模擬原理

　　2.1 直接數字合成器原理

　　結合公式 4 可知，外差干涉信號的模擬需要在正弦信號的基礎上，靈活的進行參數(頻率、相位、幅度)調制。J.tierney 和 C.M.Tader 提出的直接數字合成器(Direct Digital Synthesizer，DDS)概念可以很好的滿足本項目的設計需求[18]。

　　DDS 的基本結構如圖 3(a)所示，包括相位累加器(Phase Accumulator， PA)、相位振幅轉換器(通常為正弦 ROM)、數字模擬轉換器(Digitalto-Analog Converter ，DAC)和濾波器。

　　PA 由 48 位頻率寄存器、全加法器和相位寄存器(Phase Register ，PR)組成。頻率寄存器存儲一個數字相位增量字(PIR)，每個時鐘脈沖 PIR 被添加到 PR 保存的數據中。PIR 表示每 秒增加一個相角到先前的值( 為系統時鐘頻率)，從而在 PA 輸出處產生一個線性增加的相位數字值，如 圖 3 (c ) 所示。ROM 是 一 個正 弦 查 找 表(LUT)，它將數字相位信息轉換為正弦波的幅值，因此得到一個離散的近似正弦序列，如圖 3 (d)所示。通過 DAC 可以得到量化的模擬正弦波，如圖 3(e)所示。隨后經過濾波器得到了近似的正弦信號，如圖 3(f)所示。

　　DDS 的全數字生成方式方便對生成的正弦信號進行數值調制。改變 PIR 的值實現信號頻率的調整，在 PA 與 ROM 間添加加法器增加相位偏置實現相位調制，在 ROM 生成離散近似正弦序列后，通過乘法器進行比例縮放實現幅值調節。帶參數調制功能的 DDS 實現原理框圖如圖 3(b)所示，以此為基礎可實現各種復雜的調制方式。

　　2.2 混合同余法原理

　　混合同余法生成均勻分布隨機數有自由度高、變換簡單且周期可控的優點，用于模擬功率譜恒定的白噪聲，迭代式如下：(5)式中 為因子， 為初始值， 為常數， 為模。 是在(0, )內服從均勻分布的隨機變量。由式 5 可以看出混合同余法是一種遞歸的算法，從一個初始值出發可以得到一組不超過 的整數數列。但式子中 、 、 、 不能隨意取值，否則會破壞統計特性。經試驗表明，應用以下參數產生的隨機序列有較好的統計特性[19]。

　　3 空間激光外差干涉信號模擬系統

　　3.1 信號模擬系統的設計

　　3.1.1 設計要求及參數

　　根據公式 4 的外差干涉信號模型并結合相位計的地面測試需求，空間激光外差干涉信號模擬系統設計需要滿足以下要求：

　　第一、需要三個獨立的通道分別生成可以自由調節參數、有固定的頻率差(0、±1 MHz)的三個正弦信號;第二、需要靈活的對三個信號調頻、調相、調幅;第三、需要在模擬器內部生成 PRN 碼用于 DS/SS 測距通信;第四、需要模擬出功率水平可調的散粒噪聲;第五、需要能夠靈活調節加入的主體信號和噪聲的種類及參數。

　　模擬的外差干涉信號參數見表 1。為了能夠在仿真圖中快速觀察到多普勒頻移速率的作用效果，仿真中將多普勒頻移速率更改為 100 kHz/1 ms，實際應用中為 1~3 Hz/s[13]。

　　信號模擬系統需要靈活調節加入的主體信號和噪聲的種類及參數，設計程序時需將每一個模塊獨立出來，便于通過 PC 端控制各個模塊的啟停，并進行參數設定。PC 端與信號模擬系統通過 RS422 協議進行通信，傳輸波特率為 115200 bps。信號模擬系統輸出的信號接入測試設備進行時頻特性的測試。具體方案設計如圖 4 所示，其中虛線剪頭表示指令與參數的流向，實線箭頭表示數據流向。

　　3.2 硬件平臺設計

　　硬件平臺主要包括晶振單元、FPGA 單元、 DAC 單元，如圖 5(a)、(b)所示，其中 DAC 單元包括 DAC 以及 DAC 的后端模擬放大電路。晶振單元用于為 FPGA 單元提供外部時鐘，結合后續優化及工程測試需求，應用 SUNNY 公司陶瓷 SMD 系列中 SCO-53 33 50-80M 型號的晶振為系統提供 80M 的外部時鐘輸入。 FPGA 單元生成 16 位幅值的外差干涉信號，并為 DAC 單元提供采樣時鐘。采用 K7 系列中 XC7K325T 型號的 FPGA，擁有豐富的邏輯資源，方便日后進行功能添加及系統程序優化。 DAC 單元包括 DAC 和 DAC 后端模擬電路。選擇 LTC1668 作為 DA 轉換芯片，該芯片支持 16 位并行數據 輸入，采樣 時鐘范圍 50 MHz~75 MHz，建立時間至少為 8 ns，保持時間最小 4 ns。 DAC 后端模擬放大電路設計如圖 5(c)所示： IA、IB 為 LTC1668 的兩路輸出電流，輸出范圍 0- 10 mA。經過后端模擬電路放大，輸出電壓 VOUT 的范圍為±1 V，電壓信號經低通濾波器后通過SMA 端口輸出至測試設備中。

　　3.3 程序設計

　　如圖 4 所示，程序主要包括時鐘模塊、通信模塊、三個拍頻生成模塊、三個幅度調制模塊、多普勒頻移模塊、測距通信模塊、散粒噪聲模塊以及信號耦合模塊。時鐘模塊將 80 MHz 的外部時鐘分為 70 MHz 的系統時鐘 和有相位偏移的 DA 采樣時鐘。通信模塊讀取 PC 發出的指令、參數及測距通信傳輸的數據信息，并分配到其余各個模塊中。三個拍頻生成模塊可以同時進行三個不同頻率的正弦拍頻信號輸出。PC 端可以設置三個拍頻信號的初始頻率，程序中留有 48 位的頻率調制端口(pinc 端口)以及 48 位相位調制端口(poff 端口)，可以輸出頻率范圍為 2~20 MHz 的 16 位幅值正弦信號。多普勒頻移模塊可以從通信模塊獲得 PC 端發出的指令及頻移速率，本程序能夠實現頻率的最大移動范圍為 2~20 MHz，移動速度為 100 kHz/1 ms，通過 pinc 端口同時實現三個拍頻信號的頻率調制。測距通信模塊可以從通訊模塊獲得 PC 端的指令及數據，將數據與內置查找表中的 PRN 碼異或為測距通信編碼，應用 BPSK 原理通過 poff 端口調制在主載波拍頻的相位中，通過 PC 設置調制指數。散粒噪聲模塊生成功率譜恒定的白噪聲，通過拍頻生成模塊的 poff 相位偏置端口進行相位調制。幅度調制模塊為乘法器，分別對三組信號進行幅度調制，使主載波拍頻與時鐘邊頻滿足理論功率比。三個幅度調制模塊輸出的三路拍頻信號在信號疊加模塊耦合成一路信號，并行輸入至 DAC 單元中。

　　3.4 外差干涉信號的模擬仿真結果

　　在 ISE14.7 平臺上應用 VHDL 語言進行系統編程，應用 modelsim 觀察輸出波形的時域特性，并與 matlab 聯合進行信號數據的頻域特性分析。

　　3.4.1 多普勒頻移功能的仿真結果

　　為了更好的測試多普勒頻移的作用效果，僅模擬主載波拍頻信號及多普勒頻移的功能。主載波拍頻起始頻率為 15 MHz，多普勒頻移變化速度為 100 kHz/1 ms ， 實 現 的 頻 率 變 化 范 圍 為 2~20 MHz。由 DDS 的舍入誤差引起的頻率誤差不超過 Hz，可忽略。理論的頻率變化與實際仿真輸出的頻率變化如圖 6 所示，藍色實線為信號的理論輸出頻率，紅色虛線為信號仿真的實際輸出頻率，頻率變化符合預期要求。

　　3.4.2 主體信號的頻譜分析仿真結果

　　根據表 1 的主體信號參數進行程序編寫，包括三個拍頻信號以及測距通信編碼。理論上，主載波拍頻與上下時鐘邊頻的功率相差約為 25 dB，擴頻通信編碼主瓣占據帶寬約為通信編碼速率的二倍。將數據從 modelsim 導入 matlab 中進行頻域分析，結果如圖 7(a)所示。

　　仿真結果中，主載波拍頻與上下時鐘邊頻的功率相差約為 25. 4dB，上下時鐘邊頻的功率有微小偏差，這是由于傅里葉變換加窗截取的數據非整周期導致的。擴頻通信編碼主瓣占據帶寬約為 4.4 MHz，符合擴頻通信的理論頻譜帶寬。綜上所述，仿真的外差干涉主體信號的頻域特性與理論預期一致。

　　3.4.3 耦合散粒噪聲的主體信號仿真結果

　　在主體信號中分別添加信噪比為 55 dB 和 75 dB 的散粒噪聲進行仿真測試，設計參數見表 1，仿真結果如圖 7(b)所示。

　　其中紫色點線代表無噪聲的主體信號頻譜圖，紅色實線及綠色實線分別代表在主體信號中添加信噪比 55 dB 和 75 dB 的散粒噪聲的頻譜圖，可以看出，當信噪比過低時，噪聲信號完全淹沒了測距通信擴頻的頻譜，這會增加通信的誤碼率，因此盡可能降低噪聲水平是完成空間引力波探測任務的重要研究方向。

　　4 信號模擬系統的測試結果

　　通過硬件平臺驗證信號模擬系統的基本功能及信號質量，選用 Tektronix 公司 MDO3024 型號的示波器觀察信號時域特性，應用 RIGOL 公司 DSA705 型號的頻譜分析儀分析信號頻域特性。并對系統的信號頻率范圍、雜波抑制以及諧波(二次)抑制能力進行測試。

　　4.1 信號模擬系統的性能驗證結果

　　模擬系統最終實現的各個基本參數如下：四個 16 位并行數據處理的 DAC 通道、70MSPS 采樣率，幅值輸出范圍為±1.08V。如圖 8 所示，由于使用了低通濾波器，模擬的信號頻率在 13 MHz 以上無二次諧波影響，結果表明在 2~20 MHz 的頻率范圍內雜波抑制(紅色實線)程度可達-53 dBc，諧波抑制(二次)可達到-47 dBc 以下。

　　4.2 空間激光外差干涉信號的模擬性能測試

　　為方便觀察生成信號的頻域特性，以下實驗均不涉及多普勒頻移功能。

　　用信號模擬系統生成主載波拍頻與兩個時鐘邊頻耦合后的信號，應用示波器觀察到的信號波形如圖 9(a)所示，可以看出幅度的規律增減，由于邊頻的功率僅占 10%，所以信號“拍”的現象不明顯。應用頻譜分析儀對該信號進行頻域特性分析，結果如圖 9(b)所示。經測量，主載波拍頻與兩個時鐘邊頻信號的幅值比相差約 25.08 dB，無雜散動態范圍可達 62.8 dBc，滿足相位計的測試需求。

　　應用信號模擬系統生成外差干涉信號的主體信號，包括主載波拍頻、兩個時鐘邊頻以及測距通訊編碼。應用頻譜分析儀對輸出信號進行頻譜分析，結果如圖 9(c)所示。從圖中可以看出測距通信擴頻的頻譜特征明顯，且與時鐘邊頻功率相差約 20 dB，測試結果與理論及仿真結果相符，并且由于頻譜分析儀中采樣點數更多，得到的模擬效果比仿真結果更接近理論頻譜。

　　應用信號模擬系統生成在主體信號中耦合 75 dB 散粒噪聲的信號。應用頻譜分析儀對輸出信號進行頻譜分析，結果如圖 9(d)所示，測距通信擴頻的頻譜大部分被噪聲覆蓋，預期效果與仿真結果(圖 7(b)綠色線)吻合。

　　綜上所述，信號模擬系統生成的信號頻域特性符合理論預 期，滿足相 位計地面測 試需求。

　　5 結論

　　根據空間引力波探測“太極計劃”對相位計進行地面測試的需求，根據激光外差干涉信號的理論特性及參數，設計了空間激光外差干涉信號模擬系統。介紹了空間引力波探測的工作原理，分析了空間激光外差干涉信號的特性，研究了主體信號以及噪聲的數字模擬方法，并基于 FPGA 硬件平臺，搭建了激光外差干涉信號模擬系統。仿真結果表明，多普勒頻移的功能模擬符合預期要求。實驗結果表明，信號模擬系統的頻率范圍在 2~20 MHz 時雜波抑制比為-53 dBc，諧波(二次)抑制達到-47 dBc，模擬信號的時頻特性符合理論預期，滿足空間引力波探測相位計的地面測試需求。