對一道經典的三角函數高考試題的多視角探究

　　摘 要：本文從不同的視角出發，對2018年全國新課標Ⅰ卷的一道填空題進行研究、剖析，使學生在學習過程中懂原理、會方法，思維得到不斷提升，同時也能很好地培養學生數學核心素養.

　　關鍵詞：高考;三角函數;探究

　　《黑龍江教育(高教研究與評估)》(月刊)創刊于2005年，是由黑龍江教育雜志社主辦的高教刊物。曾榮獲”黑龍江省社科十佳期刊。

　　最值是函數圖象的重要特征，也是函數的重要性質，函數性質在高考中屬于必考內容，求函數的最值，在于研究函數的圖象和利用其性質進行求解.三角函數的最值問題的求解也是如此，既可以遷移函數最值的求解方法，也可以根據三角函數自身的定義、圖象和性質進行研究.在高考備考中，如能從不同的視角出發，對三角試題進行研究、分析，就能讓學生在學習過程中更好地掌握方法，培養數學核心素養.本文以2018年全國新課標Ⅰ卷的一道填空題為例，闡述解決三角函數最值問題的多種視角，彰顯其作為高考試題所散發出來的魅力.

　　1 題目呈現

　　題目 (2018年全國新課標Ⅰ卷)已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值.

　　2 解法賞析

　　2.1 導數的視角

　　解析 因為f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期為T=2π，

　　所以f ′(x)=2(cosx+cos2x)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).

　　令f ′(x)=0，即2cos2x+cosx-1=0.

　　所以cosx=12或cosx=-1.

　　當cosx=12，即x=π3或x=5π3時，函數f(x)取得極值.

　　當cosx=-1，即x=π時，函數f(x)取得極值.

　　又因為f(5π3)=-3 32，f(π3)=3 32，f(0)=f2π=0，f(π)=0，

　　所以比較大小可知，函數f(x)最小值為-3 32.

　　評析 利用導數求函數的極值，再比較極值與端點的函數值大小確定函數最值，是求函數最值常用的方法.本題利用函數的周期性在一個周期內求三角函數的極值和周期起始點與終點的函數值，比較大小獲得函數的最小值.

　　2.1.2 換元法思想

　　解析 令t=sinx，t∈-1，1，則f(t)=2t+2t1-t2，則f′t=4t2t2-34

　　當x∈-1，-32∪0，32時，f′t<0，ft單調遞減;

　　當x∈-32，0∪32，1時，f′t>0，ft單調遞增.

　　則ft在t=-32或32取極小值.

　　因為f32=3 32，f-32=-3 32，所以fx的最小值為-3 32.

　　評析 利用換元法將三角函數轉化為我們熟悉的函數，再進行求導，判斷函數在定義域上的單調性以及求函數的極值，進而獲得函數的最值，它變換了函數表達形式，讓解題更符合習慣，換元是一種很好的轉化方式，但是在運用換元法時要注意換元后變量的范圍.

　　2.2 平面幾何的視角

　　解析 fx=2sinx+sin2x=2sinx1+cosx.

　　如圖1，以AB為直徑作單位圓，點C為圓上的任意一點，CD⊥AB于點E.

　　設∠COB=x，則sinx=yC=CE，1+cosx=1+xC=AE，故fx=2sinx1+cosx=2SΔACD，當且僅當x=∠CAD=60°時，SΔACD取得最大值3 34.

　　由于fx=2sinx+sin2x為奇函數，故當且僅當x=-60°時，fx的最小值是-3 32.

　　評析 由于三角函數具有單位圓的定義，所以在解決相關問題時也可考慮構造單位圓，利用單位圓內的有向線段表示各個三角函數值，再利用數形結合轉化為三角形面積求最值問題，這個求最值的過程很好地利用了三角函數的單位圓定義.

　　2.3 不等式視角

　　2.3.1 均值不等式法

　　解析 fx=2sinx+sin2x

　　=2sinx1+cosx

　　=4sinx·cos2x2

　　=8sinx2cos3x2

　　=83 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2

　　≤83 3sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x244

　　=83×916=3 32.

　　當且僅當x=π3時，等號成立，此時fx的最大值為3 22，由于該函數為奇函數，所以fx的最小值為-3 22.

　　評析 “基本不等式”是求積型函數最大值的一種模型，可以有條件地將所求拓展為多元基本不等式.除了條件的要求之外，在模型的構造技巧上有一定的難度，掌握消元的技巧即和為定值是關鍵，學生在求解函數最值問題時有必要掌握好這一常規工具.

　　2.3.2 琴生不等式法

　　解析 當x∈0，π2時，fx=sinx是上凸函數，由Jensen不等式得，

　　fx=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)

　　≤3·sinx+x+(π-2x)3=3 32.

　　當且僅當x=π3時等號成立，此時fx的最大值為3 22，由于該函數為奇函數，所以fx的最小值為-3 22.

　　評析 此方法利用高等數學中的琴生不等式求解.Jensen不等式是函數凸凹性的重要結論，在最值問題中具有廣泛的應用.在高考中借助高等數學背景考查高中數學知識越來越熱門，因此了解一些高等數學知識對解題無疑是如虎添翼.

　　3 試題價值

　　精心設計的高考試題，不僅能為考生提供從不同視角思考問題、分析問題的途徑，也能檢測考生的分析問題、解決問題的能力，正所謂是“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”.對知識的理解也是如此，有了這樣的考題，就能讓我們通過試題的多姿多彩領悟到了生命的內涵與價值.

　　精心設計的高考試題能從多個不同視角思考問題、理解問題，也能更好地體現教育、考試的公平.

　　精心設計的高考試題能成為后續學習的范例，為后續的教與學以及考試、命題提供可模擬、可變式、可拓展、可借鑒的典范，具有很強的操作、參考價值.

　　精心設計的高考試題同樣也承載著學生數學核心素養培養的重任，它為學生的數學邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學建模等核心素養的培養提供必要的載體.這就是高考試題的價值體現.

　　參考文獻：

　　[1]吳志鵬，潘敬貞.一道經典的三角形高考試題賞析[J].理科考試研究，2019(07)：7-9.