圖乘法求解結(jié)構(gòu)位移在教學(xué)中的本質(zhì)分析

　　摘 要：學(xué)生學(xué)習(xí)圖乘法求解結(jié)構(gòu)的位移時存在著很多難點(diǎn)，尤其是在具體的計(jì)算中缺乏正確的分析與計(jì)算過程。本文通過具體實(shí)例分析了圖乘法求解結(jié)構(gòu)位移時的本質(zhì)，闡述了圖乘法根據(jù)疊加法原理求解結(jié)構(gòu)位移的詳細(xì)過程，解決了學(xué)生在求解結(jié)構(gòu)位移時存在的困惑和容易出現(xiàn)的問題，從而使學(xué)生在使用圖乘法時能有更加清晰的認(rèn)識和更加準(zhǔn)確的計(jì)算。

　　關(guān)鍵詞 圖乘法，求解，結(jié)構(gòu)位移，本質(zhì)

　　近年來，很多學(xué)者提出了圖乘法求解結(jié)構(gòu)位移時的不同理念[1-5]。然而，在工科學(xué)生中開設(shè)的《工程力學(xué)A》《材料力學(xué)》《結(jié)構(gòu)力學(xué)》等課程，學(xué)生在用常規(guī)的圖乘法求解結(jié)構(gòu)位移時存在很大問題，常常會遇到不知道哪個彎矩圖求面積哪個彎矩圖找豎標(biāo)值及圖乘中如何分割面積進(jìn)行圖乘等難題。這些難題一般教材和參考文獻(xiàn)中都有大面積的求解和講解，然而圖乘法在應(yīng)用中的實(shí)質(zhì)并沒有很明確地分析導(dǎo)致學(xué)生在具體的計(jì)算中常常充滿了困惑并造成計(jì)算錯誤。針對學(xué)生經(jīng)常在常規(guī)圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移時出現(xiàn)的問題，本文通過具體實(shí)例分析講解圖乘法的實(shí)質(zhì)，在一定程度上糾正學(xué)生在計(jì)算中導(dǎo)致的錯誤。

　　1 圖乘法的本質(zhì)分析

　　1.1圖乘法的公式及使用條件

　　圖乘法的計(jì)算公式為，大家很熟悉其使用條件[6-9]：

　　(1)等剛度直桿;

　　(2)彎矩圖中至少有一幅彎矩圖為直線圖;

　　(3)豎標(biāo)yc應(yīng)取自彎矩圖為直線圖中;

　　(4)w和yc若取在桿軸線同側(cè)則乘積為正，反之為負(fù);

　　(5)當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時，拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過積分的方式求解;當(dāng)抗彎剛度為分段常數(shù)時或者兩彎矩圖非一條直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。

　　1.2實(shí)例分析圖乘法的實(shí)質(zhì)

　　應(yīng)用中除了明確上面這些基本知識，常常忽視了圖乘法的本質(zhì)是疊加法，在具體的計(jì)算中本著疊加法的想法圖乘法就顯得思路清晰了很多。下文通過實(shí)例分析圖乘法的本質(zhì)：用圖乘法求解下列靜定剛架截面A的豎向位移和截面B的豎向位移。

　　1.2.1 求解截面A的豎向位移(圖1)

　　(1)方法一。

　　A截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

　　方法一圖乘AC段時直接用圖4的拋物線彎矩圖和圖3的三角形彎矩圖進(jìn)行圖乘：拋物線計(jì)算面積，在三角形彎矩圖中找二次拋物線的形心位置對應(yīng)到三角形彎矩圖的豎標(biāo)值。圖乘CE段時用圖2的矩形彎矩圖和圖3的矩形彎矩圖進(jìn)行圖乘：圖2的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖3的矩形彎矩圖中找圖2的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值;也可以圖3的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖2的矩形彎矩圖中找圖3的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值。

　　(2)方法二。

　　A截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

　　方法二圖乘AC段時用疊加法將圖5中的彎曲圖分解為一個三角形ACD彎矩圖和拋物線(圖7)彎矩圖分別與圖6中三角形彎矩圖進(jìn)行圖乘：三角形ACD彎矩圖和拋物線(圖7)彎矩圖分別計(jì)算其面積，在圖6三角形彎矩圖中分別找三角形ACD彎矩圖和拋物線(圖7)彎矩圖的形心位置對應(yīng)到圖6三角形彎矩圖中的豎標(biāo)值。圖乘CE段時用圖5的矩形彎矩圖和圖6的矩形彎矩圖進(jìn)行圖乘：圖5的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖6的矩形彎矩圖中找圖5的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值;也可以圖6的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖5的矩形彎矩圖中找圖6的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值。

　　方法二中圖乘AC段時實(shí)質(zhì)上應(yīng)用了疊加法畫AC段彎矩圖的原理：先確定A、C兩個端截面的彎矩值，再虛線相連A、C兩端的彎矩值，最后在虛線上或虛線下疊加相應(yīng)的拋物線如圖7所示，則該拋物線與軸線所畫圖線即為最后的彎矩圖。因此，圖乘法實(shí)質(zhì)上應(yīng)用疊加法的想法先在圖5中三角形彎矩圖跟圖6彎矩圖圖乘接著減去圖5中拋物線彎矩圖跟圖6圖乘的結(jié)果。

　　1.2.2求解截面B的豎向位移(圖8)

　　B截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

　　因?yàn)樘摂M狀態(tài)下AB段沒有彎矩圖，因此圖乘法過程中圖乘AC段彎矩圖時只考慮BC段的彎矩圖圖乘結(jié)果：疊加法先確定出C、B兩截面的彎矩值接著在虛線下疊加相應(yīng)拋物線則拋物線與軸線BC所圍圖線為最后的彎矩圖。按照疊加法實(shí)質(zhì)，圖乘CB段時圖10a圖彎矩圖分解為圖10b和圖10c(實(shí)質(zhì)上是圖7二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線彎矩圖)，故該段圖乘時將圖10b和圖10c的彎矩圖分別與圖9中CB段的彎矩圖進(jìn)行圖乘求代數(shù)和。圖乘CE段時用圖9的矩形彎矩圖和圖10的矩形彎矩圖進(jìn)行圖乘：圖9的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖10的矩形彎矩圖中找圖9的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值;也可以圖10的矩形彎矩圖計(jì)算面積，在圖9的矩形彎矩圖中找圖10的矩形彎矩圖的形心位置對應(yīng)的豎標(biāo)值。

　　2 結(jié)論

　　本文闡釋的圖乘法實(shí)質(zhì)是應(yīng)用了疊加法的原理：先用兩端彎矩值確定的彎矩圖圖乘接著減去(或者加上)標(biāo)準(zhǔn)拋物線彎矩圖圖乘的結(jié)果。學(xué)生掌握了圖乘法的本質(zhì)就可以很準(zhǔn)確地用圖乘法進(jìn)行位移計(jì)算，從而避免很多錯誤的發(fā)生。

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