高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)方法上的差異

　　數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂 。對(duì)于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者而言 ，加 強(qiáng) 對(duì) 數(shù) 學(xué) 思 想 方 法 的 提 煉、 總結(jié)和研究，是更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí) ，提高數(shù)學(xué)能力的有效途徑 。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)方法上的差異 主要表現(xiàn)在復(fù)雜程度和抽象程度上 。

　　《數(shù)學(xué)年刊A輯》(雙月刊)創(chuàng)刊于1980年，是由教育部主管、復(fù)旦大學(xué)主辦的一份面向國(guó)內(nèi)外的綜合性的數(shù)學(xué)刊物。著名數(shù)學(xué)家蘇步青院士任名譽(yù)主編、李大潛院士任主編(1999年開(kāi)始)。

　　一、探討高 等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)方法上差異的意義

　　數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂 。對(duì) 數(shù) 學(xué) 思 想方法作出研究，有助于人們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本 質(zhì) ，提 高 數(shù)學(xué)素養(yǎng)。特別對(duì)于高等數(shù)學(xué) 學(xué) 習(xí)者而言 ，加 強(qiáng) 對(duì) 數(shù)學(xué)思想方法的提煉 、總結(jié)和研究，是更好地 掌 握 數(shù) 學(xué)知識(shí)，提高 數(shù)學(xué)能力的有 效 途徑 。 鑒 于 高 等 數(shù) 學(xué) 與初等數(shù)學(xué)在思想方法 、內(nèi)容等方面都有差 異 ，如 果 能有意識(shí)地去尋找高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在思 想 方 法 上的差異，學(xué)好高等數(shù)學(xué)的可能性就會(huì)大大增加 。

　　二、數(shù)學(xué)思想方法概述

　　數(shù)學(xué)是一種思維方式，一種思維規(guī)范，一 種 思 維 載體[1]。數(shù)學(xué)思 想 是 既 以 具 體的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體 ， 又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍 使 用 的 方法[2]。數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具對(duì)問(wèn)題 進(jìn) 行 科 學(xué) 研究的方法，包 括對(duì)實(shí)際問(wèn)題的 數(shù) 學(xué) 化 和數(shù) 學(xué) 內(nèi) 部

　　三、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法

　　(一)初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法

　　初等數(shù)學(xué)主 要 包 括 兩 部 分 內(nèi) 容 ：幾 何 學(xué) 與 代 數(shù) 學(xué)[3]。且基本都 是 用 常 量 解 答 常 量 問(wèn) 題 的 ，可 以 認(rèn) 為初等數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué) 。

　　數(shù)學(xué)內(nèi)容是 數(shù) 學(xué) 方 法 的 載 體 ，這 就 決 定 了 內(nèi) 容 影響方法。初等數(shù)學(xué)的方法大致可以劃分為 以 下 兩大類：

　　(1)數(shù)學(xué)所獨(dú)有的方法 。如：比較法、換 元 法、加 減法、待定系數(shù)法、拆相補(bǔ)相法等。這些方法 在 初 等數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛，在處理初等數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)作用不可估 量。

　　(2)邏輯學(xué)中的方法。如：分析法、綜合 法、反 證 法、歸 納 法、窮 舉 法 等，這 些 方 法 與 數(shù) 學(xué) 內(nèi) 容 相 互 融合、相互滲透，從而演化成數(shù)學(xué)中處理問(wèn)題的 重 要 方法。此例中，分析法、綜 合 法、歸 納 法 都 各問(wèn)題的探 討，用 數(shù) 學(xué)這種語(yǔ) 言描述事物的 起 因 、發(fā)展、變 化 和 結(jié) 果，最 后 經(jīng) 運(yùn) 算、推 導(dǎo) 等 一 系 列 數(shù) 學(xué) 過(guò) 程，形成諸如解釋、判定、預(yù)知的方法。

　　數(shù)學(xué)思 想 與 數(shù) 學(xué) 方 法 密 不 可 分 ，但 有 所 不 同。 數(shù)學(xué)思想是數(shù) 學(xué) 方 法 的 精 神 實(shí) 質(zhì) 和 理 論 基 礎(chǔ) ，數(shù) 學(xué) 方法則是實(shí)施有關(guān)數(shù)學(xué)思想的工具 、方法、技 術(shù) 手 段等。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想的抽象度 更 高 、理 論 性 更 濃;數(shù) 學(xué)方法的可操作性和程序性更明顯 ，實(shí)踐性更強(qiáng)。

　　(二)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法

　　高等數(shù) 學(xué) 內(nèi) 容 豐 富 。 以大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)為 例，主要包括：高 等 代 數(shù)、常 微 分 方 程、微 積 分、概 率 論以及近世代數(shù)、數(shù)值分析等。可以這樣說(shuō)，高 等 數(shù) 學(xué)是研究關(guān)系或模式的科學(xué) 。高等數(shù)學(xué)的方 法 繼 承 了初等數(shù)學(xué) 中 的 一 切 方 法 ，并進(jìn)一步地深化 、發(fā) 展， 體現(xiàn)出更高的 抽 象 性 和 概 括 性 ，同時(shí)也拓展出一些 新的方法，如：積 分 法、微 分 法、構(gòu) 造 法、逼 近 法 等。 新的思想方法的出現(xiàn)是處理高等數(shù)學(xué)中新問(wèn) 題 的 結(jié)

　　答案(ln2)。 其 中 在 第 一 步 的 轉(zhuǎn) 化 包 含 著 多 種 靈 活的思路和方法，其轉(zhuǎn)化結(jié)果多樣 ，進(jìn)而直接 影 響 下 一步計(jì)算的復(fù)雜程度和正確結(jié)果的得出 。這 和 初 等 數(shù)學(xué)中常使用的公式法 、加減法、換元法等解 答 題 目

　　(一)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)方法上的差異

　　高等數(shù)學(xué)與 初 等 數(shù) 學(xué) 有 著 不 同 的 研 究 對(duì) 象 ，從 而在思想方法 的 復(fù) 雜 程 度 、抽象性等方面存 在 較 大的差異。

　　1.復(fù)雜程度

　　因?yàn)楦叩葦?shù) 學(xué) 要 解 決 的 是 更 為 一 般 的 問(wèn) 題 ，所 以，高等數(shù)學(xué) 的思想方法比 初 等數(shù)學(xué)更復(fù)雜 。 以 數(shù) 學(xué)分析為例，求不規(guī)則圖形的面積 、體積是常 見(jiàn) 的 問(wèn) 題。對(duì)面積 的求解過(guò)程一 般 是：分 割—求 和—取 極 限。在分割圖形后，有一個(gè)取極限的環(huán)節(jié) ，隨 著 分 割 數(shù)次趨 于 無(wú) 窮 ，以至于可近似地 把 分割 得到的 小 圖 形 在 曲 線 上 的部分視為直的 線 段 。 到 此 ，初 學(xué) 者 往 往 陷 入 到 底 是曲線還是直 線 的 矛盾 思 維 中 。 最 后 在 求 極 限 的 過(guò)程中往往還 要 涉 及到 數(shù) 列 、極 限 等 方 面 的 知 識(shí) 。 而 初等數(shù)學(xué)中求體積或面積 的 問(wèn) 題 與 解 答 相 對(duì) 簡(jiǎn) 單 得 多 ，主 要 是 規(guī) 則 圖 形

　　(看 似 不 規(guī) 則 的 圖 形 ，是 規(guī) 則 圖 形 經(jīng) 有 限 次 (最 多 四 次 )的 疊 加 重 合 得 到 的 )的 計(jì) 算 ，常 用 的 公 式 包 括 正 方 形 (體 )的 面 積 (體 積 )公 式 ，長(zhǎng) 方 形 (體 )的 面 積 (體 積 )公 式 ，圓 (球 )面 積 (體 積 )公 式 等 等 。 計(jì) 算 方 法 是 只 須 將 具 體 的 數(shù) 據(jù) 代入這些基本的 公 式 便 可 得 到 答 案 。 稍難的計(jì)算也就是先將一 些 基 本 公 式 進(jìn) 行 變 形 ，再 進(jìn) 行 計(jì) 算 。

　　2.抽象程度

　　高等數(shù)學(xué)方法的抽象性明顯高于初等 數(shù) 學(xué) 。 這 不僅決定于高 等 數(shù) 學(xué) 內(nèi) 容 的 高 度 抽 象 性 ，也 決 定 于

　　在此例中，求極限的方法得到了充分的 應(yīng) 用 ，在理論上給我們熟知 π的一個(gè)很好的實(shí)質(zhì)性的定義或 現(xiàn)實(shí)背景。這不同于初等數(shù)學(xué)中只要記住它，知道它 表示圓周率、甚 至 是 一 個(gè) 具 體 數(shù) 字3.1415926，以 便 于使用它。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)的 內(nèi)容及其方法影響 所 考 慮 問(wèn)題的抽象性程度。 此 外，在 上 例 (1)和 (2)式 中 適 當(dāng)?shù)胤糯蠛涂s小某些等式使得問(wèn)題變得更加 形 象 直 觀，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題，有利于問(wèn)題的進(jìn)一步 解 答。 這 種方法在解答 高等數(shù)學(xué) 的問(wèn)題中經(jīng)常使用 ，對(duì) 于 這 個(gè)放大或縮小的“度”的把握已不是初等數(shù)學(xué) 的 方 法 思想所能比的，其抽象的程度更高 ，創(chuàng)造性的 成 分 更 明顯。同時(shí)，此 題的解題 過(guò)程也反映出其嚴(yán) 密 的 邏 輯性。

　　(二)高 等 數(shù) 學(xué) 與 初 等 數(shù) 學(xué) 在 數(shù)學(xué)方法上的聯(lián) 系

　　盡管高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)方法在 抽 象 的 深淺度和層次 上 有 一 定 的 差 別 ，但這并不能阻礙它們存在著實(shí)質(zhì) 性 的 聯(lián) 系 ，尤其在處理問(wèn)題時(shí)這種聯(lián) 系體現(xiàn)得更為緊密：總是先分析問(wèn)題的特征，歸 納 出必要的關(guān)鍵 條 件，再 選 擇 可 行 的 方 法 處 理 問(wèn) 題 。 在處理問(wèn)題的過(guò)程中 ，從已有的條件出發(fā) ，沿著 數(shù) 學(xué) 思 想路線，依據(jù)邏輯規(guī)則，有順序有步驟地進(jìn)行 推 理 和 運(yùn)算，直至到 達(dá)目標(biāo)形成一個(gè)完 整 的 邏 輯 體 系 ——— 完整的問(wèn)題解答體系 。這樣解答問(wèn)題的策略 在 中 學(xué) 和大學(xué)都有 不 同 程 度 的 體 現(xiàn) 。 就具體數(shù)學(xué)方法來(lái) 說(shuō)，初等數(shù)學(xué)中的方法當(dāng)然也延續(xù)到了高等 數(shù) 學(xué) 中 。 同時(shí)，高等數(shù)學(xué) 中的不少方法也 可 以 在 初等 數(shù) 學(xué) 中 找到雛形。例如，在解答下面這個(gè)問(wèn)題時(shí) ，就 采 用 了 高等數(shù)學(xué)中 用 得 非 常 普 遍 的 一 種 方 法 ———構(gòu) 造 法，

　　只不過(guò)構(gòu)造的是一個(gè)函數(shù) f(x)= 1 。

　　1+x

　　這個(gè)問(wèn)題是：已 知a，b，c 為一三角形的三 邊 長(zhǎng)，

　　握數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn) 識(shí)，提 高

　　數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]歐陽(yáng)絳.數(shù)學(xué)方法溯源[M].大 連：大 連 理 工 大 學(xué) 出版社，2008：193—202.

　　[2]錢(qián)佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法和 中 學(xué) 數(shù) 學(xué)[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社 ，1997.

　　[3]張順燕.數(shù) 學(xué) 的 思 想、方 法 和 應(yīng) 用 [M].北 京：北 京大學(xué)出版社，1997：1—3.

　　[4][美]波 利 亞.怎 樣 解 題：數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 法 的 新 面 貌

　　[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上 海 科 技 教 育 出 版 社，2002：120.

　　[M].北京：高等教育出版社，2001.

　　綜上所述，高 等數(shù)學(xué)與初等數(shù) 學(xué) 在 內(nèi) 容 和 方 法

　　上存在許多差 異，但這些差異僅 僅 或 局 限于 形 式 或 內(nèi)容上的深度和廣度 。深入學(xué)習(xí)和探討基本 的 數(shù) 學(xué) 思想方法，有利于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者整體地 、統(tǒng) 一 地 把

　　[6]陳紀(jì)修，於崇華.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第 2 版)[M]. 北京：高等教育出版社 ，2004.