基于計算思維面向能力培養的離散數學教學改革

　　摘  要：針對離散數學教學現狀和面臨的挑戰，提出基于計算思維面向能力培養的離散數學教學改革思想，并從思維轉變、3 種能力培養、教學方式、考核方式和平臺支撐 5 個方面闡述具體教改措施，最后通過課程考核、編程實踐作業和調查問卷反饋說明教改效果。

　　賈經冬; 李衛國， 計算機教育 發表時間：2021-09-10

　　關鍵詞：離散數學;計算思維;能力培養;編程實踐;教學改革

　　0 引 言

　　離散數學課程自身具有高抽象性、強理論性、邏輯性 [1] 等特點，課程中基本概念、定理和證明較多，這些因素使學生感覺離散數學課程的學習難度大。此外，因為學了離散數學知識后不像其他專業課程可以立竿見影在實踐中應用，所以學生會產生學了無用的感覺，但離散數學是軟件工程課程體系中重要的專業基礎課之一，為了充分發揮其對其他課程和專業的基礎作用，面向能力培養的課程教學改革是必需的。

　　1 教學現狀和存在的問題

　　(1)從教師角度，講完集合論和圖論，授課時間并不充裕。如果只依賴課內學時，教師無法深入地結合知識點講授離散數學的實際應用，這導致學生在學習中難以理解離散數學知識點和專業的關系，只是機械學習抽象理論知識。

　　(2)從授課對象角度，處于大二上學期的學生學過的相關專業課有限，故他們對軟件工程專業理解并不深入。在此背景下，縱然授課教師想把離散數學知識和其他專業課建立關聯，學生也不容易理解。例如，等價關系與軟件測試課中的等價類方法設計測試用例密切相關，但學習此知識點時，學生基本不了解軟件測試，更不要說設計測試用例了。因此，依據學生的實際情況，目前，教師在課內只能以理論知識的授課為主。

　　(3)從課程自身角度，離散數學包含的內容雜、概念多、公式符號多、理論性強，內容相對抽象枯燥，課程名字也導致學生認為這是一門數學課，不是專業基礎課。如果授課時不結合專業知識，學生會認為這是一門“不知道有什么用” 的課，從而學習熱情降低。而且因為課程無上機課時和上機作業，此課程無法像其他編程課程一樣讓學生學習的內容可以立竿見影地應用，故無法說服學生像對待其他專業課那樣熱情地對待此課程。

　　綜合上述現狀，離散數學課程教學中存在的主要問題如下。

　　1)與其他專業課程學習脫節。

　　目前教學中此課程和其他專業課程脫節，并沒有起到基礎支撐作用。如何發揮離散數學的專業基礎課作用，與其他專業課有效融合銜接，真正讓軟件工程學生意識到它對解決實際工程問題的價值，以培養學生解決問題的能力，是應考慮的問題。

　　2)與實踐能力尤其編程能力培養脫節。

　　離散數學沒有上機課時和編程實踐，故造成理論和實踐的脫節。課程中理論知識本就難以理解，再不應用于實踐，會使得理論知識掌握不牢固，不利于培養軟件工程學生的實踐能力。從軟件學院的培養目標來說，培養學生的編程能力是基本要求，需要在各門課程中強調和鍛煉。而此課程很多知識點是可以理論和實踐相結合的，例如冪集知識點，根據以往授課經驗，很多學生上完課后寫作業仍然會做錯。如果輔助編程實踐，讓學生完成求集合冪集的程序設計，則不僅讓學生從軟件工程專業角度理解和消化此知識點，也鍛煉了學生的編程能力。

　　3)教學方式和支撐工具需要更新。

　　目前，課程教學仍然以課堂教學為主、微信群答疑為輔。以現有的教學方式要解決前兩個問題較為困難。例如，如果要增加和其他專業課相關的課程案例，課時不變情況下，僅采用課堂教學是實現不了的。如果增加了編程實踐，在線提交編程作業并記錄學生的編程實踐數據需要其他的支撐平臺或工具來完成。因此，需要更新教學方式和教學支撐工具。

　　2 基于計算思維面向能力培養的離散數學教改總體思想

　　計算思維自 2006 年被提出以來，就成為與理論思維、實驗思維比肩的三大科學思維之一。計算思維是運用計算機科學的基礎概念去求解問題、設計系統和理解人類行為等涵蓋計算機科學廣度的一系列思維活動 [2]。對于軟件工程專業學生而言，培養計算思維非常重要。計算思維強調以概念去求解問題，而離散數學教學本質正符合這種思維，集合論和圖論知識都是培養學生學會用抽象描述來表示、分析和計算，以解決問題。因此，首先從思維上改變教學理念，基于計算思維來進行離散數學的教學改革是符合現在的軟件工程專業發展趨勢的。

　　此外，從軟件工程專業教學角度，該專業突出工程素質、重視實用性人才培養，而且新工科建設也明確提出要培養學生將各種方法論應用于 解決實際問題的能力 [3]，因此面向能力的培養應該在各門專業課中落地。離散數學的教學中也應該突出學生能力的培養，而不僅是理論知識的獲取。計算思維是人類求解問題的一種思維途徑，其最終強調的是解決問題，是數學和工程思維的互補與融合 [2]。針對課程面臨的前兩個問題的改革，目的就是為了培養學生解決問題的能力。

　　因此基于計算思維面向能力培養的離散數學教學改革是適應現在專業發展要求而產生的，不但要從教學理念上進行改革，而且要從培養學生能力上進行改革。

　　3 離散數學教改措施

　　3.1 基于計算思維改變教學模式，突出專業知識融合的案例教學

　　要避免學生把離散數學當做純數學理論課程學習，讓學生認識到離散數學對專業發展的有用性，就需要改革課程的教學模式：把講授抽象的理論知識轉變為教授使用計算來解決問題的思維方法，從而根本改變現有離散數學教學的傳統思想和理念。

　　要實現這種教學模式的轉變，最重要的是從教學內容上進行優化。授課教師必須在教學中始終滲透計算思維，加強離散數學和其他專業課的深度融合。為此，首先需要梳理離散數學與其他專業課程間的層次關系，找到離散數學的每個知識點在其他課程的應用場景，例如關系復合運算在數據庫表間關系的實際應用。然后，設計各種教學案例，從案例出發介紹知識。例如，可以一個具體項目為背景講圖論的關鍵路徑知識點。

　　通過與其他專業課建立關聯，離散數學的教學不再枯燥抽象，而是有機融合到專業問題的求解中，則能夠培養學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維。

　　3.2 加強離散數學編程實踐，面向 3 種能力的培養

　　編程能力是軟件工程類學生專業能力的一個重要指標，需要在大一、大二低年級階段持續強化，因此可以把離散數學的課程教學和編程能力鍛煉進行有機結合，培養學生的編程能力，也使得學生能夠感受到知識立竿見影的應用效果。

　　這種情況下，就需要合理設計難度適中的離散數學編程題目。比如關系的傳遞閉包，理論公式是關系復合運算后求廣義并，但是從關系矩陣表示就是求布爾矩陣的乘法和加法，這是可以通過編程來實現的，所以這個知識點可以讓學生進行編程練習。這個過程既強化了學生的編程能力的培養，也增強了理論知識的直觀性和趣味性。

　　此外，離散數學的圖論部分，涉及很多的算法，比如最小生成樹、最短路徑、匹配問題等都可以通過編程實踐來理解算法思想。現實的很多問題都可以用圖來抽象建模，因此結合實際問題的圖論部分的編程實踐，不僅可以鍛煉學生的編程能力，也可以培養學生解決專業問題的能力。

　　在學習離散數學之前，學生課內僅學過了 C 語言。編程語言的多樣性和發展的快速性，使得課內不可能講授所有的開發語言，因此，編程語言的自學非常重要。在本課程中鼓勵學生用不熟悉的新語言(如 Python)完成實踐，也有利于培養學生自學能力。

　　3.3 改進課程教學方式，充分發揮第二課堂的作用

　　離散數學只有 32 學時，講完集合論和圖論知識點，課時并不充裕，如果再擴展知識點，加入案例教學，顯然課時更加緊張。如果不改革教學方式，仍然全部課內講授，必然會導致理論知識點出現“夾生飯”現象，而擴展的案例知識會讓學生聽得囫圇吞棗、理解不透。

　　要想達到教學改革的目的，教學方式上必須進行改革。可以充分發揮第二課堂——微信群的作用，提前將簡單的知識點(如集合表示等內容)發到第二課堂讓學生首先自學，課內老師進行相關知識點的案例教學和與學生的討論互動教學。此外，對有些擴展知識點可以放在第二課堂，供學生學完課內知識后自學以拓寬知識面。

　　3.4 改進課程考核方式，使其更加面向能力培養

　　離散數學以前的考核是由課后習題作業成績和期末考試成績兩部分構成，期末考試主要是對理論知識點的筆試考核。這種考核方式無法滿足計算思維和專業能力的培養。既然從課程內容上強調了計算思維融合來設計教學案例，從實踐上強調了課程編程作業，那么從考核上需要反映改革的內容。

　　擬從兩方面改進課程考核方式。首先，平時作業成績中要包含編程實踐作業成績。對于編程實踐不僅要強調完成，還要強調質量，以培養學生寫優質代碼的能力。其次，考試內容的教學改革，不僅考查理論知識點，還增加案例分析，讓學生分析需要用什么知識點來建模解決問題。

　　3.5 借助多個支撐平臺來促進課程可持續發展

　　離散數學課程目前主要借助學校的課程中心來進行資源共享，但要實現如上教學內容和方式的改革，并且促進課程可持續發展，必須借助多個教學平臺的支撐。一方面，現有的課程中心平臺仍然可以實現資源的共享;另一方面，需要借助一個編程平臺來實現編程題庫和在線編程實踐。對于后者，可以依托北京航空航天大學現有的 accoding 在線編程練習平臺，此平臺可以提供豐富的實踐練習題庫，鍛煉學生解決實際問題的能力。此外，在線編程平臺能記錄學生的實踐效果，比如提交通過次數等。通過數據分析，學生可以檢視自己的實踐能力。

　　4 離散數學教改實踐結果

　　按照以上教改總體思想和措施，2020年秋季，北京航空航天大學軟件學院對離散數學展開了教學改革實踐，通過 3 項內容可以反饋此次實踐效果。首先，在期末考試中增加了具有實際背景的分析題，考查學生選擇合適的圖來抽象建模并解決問題的能力，最終 90% 的學生都能夠正確解決，但也有 10% 的學生分析建模錯誤。其次，課程中指定用編程語言 Python 完成 3 次實踐作業。針對同一問題，例如傳遞閉包的編程實踐作業，239 名學生中 71% 的學生可以在 3 次內(含 3 次)在線提交代碼通過，但是也有 5% 的學生至少要 10 次以上才能正確通過。從代碼行來看，通常 14~22 行解決問題，也有學生非常精簡地用 9 行代碼解決了問題，但也有 4% 的學生至少需要 40 行以上的代碼。這些都反映了學生編程能力的差異，通過把相關數據反饋給學生，并把優秀編程作業展示給學生，可以促進學生了解差距，提高自身開發能力。最后，課后通過調查問卷來了解學生對 3 種能力培養的滿意度。學生對通過實際問題建模來培養解決問題能力的滿意度為 92.2%，對離散數學中編程實踐能力培養的滿意度為 80%，對自學能力培養的滿意度為 73%。后兩個能力培養滿意度不高和實踐中指定學生用之前不熟悉的 Python 來完成編程作業有關。根據調查，53% 的學生回答更愿意用已經會的編程語言而不是自學新的語言來完成作業，這主要是因為在學期中間多門課并行，自學新語言學生感到時間緊張。這些反饋數據為后續課程的持續改進提供了參考。

　　5 結 語

　　計算思維是每個軟件工程專業學生都應該具備的解決問題的思維。在計算思維的指導下，從思維轉變、能力培養、教學方式、課程考核和平臺支撐方面進行的面向 3 種能力培養的教學改革實施后，經過調查反饋，3 種能力的培養基本達到預期目標，但也存在改進的空間。在后續的教學實施過程中，筆者會根據反饋調整，努力使離散數學不僅完成理論授課也完成學生專業能力的培養。