教育核心期刊淺析曲面上曲率線與測地線的算法

　　本篇文章是由《教育探索》發表的一篇教育論文，1981年創刊，主辦(主管)單位，黑龍江省教育科學研究院。以宣傳普通教育、職業教育、成人教育和學前教育為重點。讀者對象為中小學校長、教師、教育行政領導、教育研究部門科研人員等。

　　摘 要 本文首先給出了曲率線和測地線的基本概念和幾何性質，揭示了曲率線和測地線之間的關系，以計算不同曲面的曲率線和測地線來分析其積分算法，為深入研究NURBS曲面上曲率線和測地線的積分算法奠定了一定基礎。

　　關鍵詞 曲率線 測地線 曲率 積分 NURBS曲面

　　1 曲率線和測地線的基本概念

　　1.1 曲率線

　　曲面上一點的兩個方向，如果它們既正交又共軛，則稱為曲面在點的主方向。

　　設這兩個方向是() = ：，() = ：，由于正交性，，即 + ( + ) + = 0。

　　曲率線：曲面上的一條曲線，如果其上每一點的切向正好時曲面在該點的主方向，這條曲線就是曲率線。

　　由定義可知，對于已給曲面 = ()上的曲率線由

　　或者微分方程

　　() + () + () = 0

　　(1.1)

　　決定，這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網。

　　其中 (1.2)

　　是曲面 = ()的第一基本量，

　　是曲面 = ()的第二基本量。

　　1.2 測地線

　　給出一個曲面：，()是曲面上的一條曲線：

　　其中是()的自然參數。設是()上一點，是()在點的單位切向量，是主法向量，是副法向量。再設是曲面在點的單位法向量，€%z是與的夾角，則曲面在點的切方向上的法曲率是。

　　命，則是彼此正交的單位向量，并且構成右手系。

　　曲線()在點的曲率向量在上的投影，

　　，稱為曲線在點的測地曲率。

　　曲面上的一條曲線，如果它的每一點處的測地曲率為零，則稱該曲線為測地線。測地線的微分方程是

　　2 曲率線與測地線的幾何性質

　　2.1 曲率線的幾何性質

　　定理1 曲面上一曲率線為平面曲線的充要條件是沿€%<的法線曲面為柱面。

　　證明：設，€%< ： = ()， = ()(為的弧長)，

　　則沿€%<的法線曲面方程為：。

　　因為柱面的充要條件是，即常矢，有，所以。即€%<為平面曲線。

　　定理2 若沿曲率線€%<的發現曲面1是一條曲線€%<1的切線曲面，則€%<1的方程為：，其中()為在點處的主曲率。

　　證明：因為1是€%<1的切線曲面，所以

　　€%<11，又1是沿€%<的法線曲面，所以€%<1，且于是存在一數量函數()使。

　　對求導，

　　而，所以

　　由于，所以 = 0，即= 1 /

　　故。

　　2.2 測地線的幾何性質

　　曲面上的一條曲線，如果它的每一點處的測地曲率為零，則稱該曲線為測地線。測地線的微分方程是：

　　曲面上上的坐標網為正交網時，曲面上測地線方程為：

　　由于曲面上的法曲率和側地撓率等有關概念都是由曲面在中的形狀決定的，所以漸近線和曲率線等有關概念都不是曲面上內蘊幾何的概念，但是測地曲率是曲面在保長變換下的不變的量，所以測地曲率 = 0的曲線是內蘊幾何的概念。

　　2.3 測地線的存在性

　　由測地線的定義，我們可以知道，平面曲線的測地曲率就是它的相對曲率，所以平面上的測地線就是直線。測地線的概念是平面上的直線的概念在曲面上的推廣，下面我們就來說明這種推廣的含義。

　　曲面上一條去現實測地線，當且僅當它是直線，或者它的主法向量處處是曲面的法向量。

　　證明：我們知道其中是曲線的次法向量和曲面的法向量的夾角由此可見 = 0的條件是 = 0或者。若 ≡ 0，則該曲線是直線，若≠0則，于是即曲線的主法向量是曲面的法向量。現在我們考慮測地線的微分方程。由學過的知識我們可知。

　　因此≡0的充要條件是

　　(1)

　　這就是測地線所滿足的微分方程。

　　若引進新的未知函數，則方程組(1)便降價成為一階常微分方程組：

　　這是擬線性常微分方程組，根據常微分方程組的理論，對于任意給定的初值，必有>0，使得方程組上述方程組有定義在區間(-，)上的唯一解 = ，滿足初條件

　　如果初值(，)滿足條件 (，) = 1

　　則上面給出的解 = 是曲面上以為弧長參數的一條曲線。實際上，如果命= (，)

　　則

　　并且 (0)≡0，所以 ≡0

　　即是曲線 = 的弧長參數。

　　3 曲面上曲率線與測地線的積分算法

　　3.1 曲面上的曲率線求法

　　3.1.1 雙曲面的曲率線

　　我們對雙曲面 = 進行積分算法求出曲率線

　　= ， = ， = ， = 0， = ， = 0， = 1 + = 1 + ， = = ， = 1 + ， = 0， = 0。

　　曲率線的微分方程為

　　化簡得 = 積分得

　　即

　　故所求曲率線為

　　3.1.2 螺旋面的曲率線

　　螺旋面上的曲率線

　　由題可知 = 1， = 0， = + ， = 0，， = 0，

　　曲率線的微分方程為，

　　即 + ( + ) = 0，化簡得，積分得即

　　故所求曲率線為

　　3.2 曲面上的測地線求法

　　3.2.1 NURBS曲面上測地線算法

　　曲面上的曲線C可以用參數方程

　　來表示，這里的是曲線參數。弧長的微分形式如下：

　　= + 2 +

　　于是曲面上一條曲線的長度可知，為

　　(1.4)

　　這里、是參數、分別對的偏導。，，是曲面的第一基本量

　　，是曲面對參數、的偏導數。

　　在局部范圍內，測地線是連接兩點曲線中弧長最短的曲線。尋找一條曲線，構造，，使得(1.4)式中的L最小。這樣我們就得到了一條測地線。函數，應該滿足

　　(1.5)

　　這里

　　上式中我們選擇弧長s作為參數，(1.5)式可由以下一對非線性微分方程的形式表達

　　其中

　　式中是曲面在點(u，v)的單位法向量

　　是曲面方程對，的二次混合偏導，測地線軌跡可用以下四個一次微分方程

　　在過點(，)以及有初切向的初始條件下，通過Rung-Kutta法迭代求出唯一解，給定曲面上一點和方向，通過自適應迭代步長的選擇，可自動求解出一條測地線。

　　3.2.2 求圓柱面的測地線

　　解：在圓柱面

　　= + ，測地線的方程量： = 0， = ， =

　　故 = + ，為常數，為積分常數，對應的向量式參數方程量。

　　3.2.3 求球面上的測地線

　　解：對于半徑為的球面上的大圓弧，熟知： = ，法曲率 = €?，于是測地曲率 = €?= 0，從而球面上的大圓弧是測地線。

　　參考文獻

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