微分法在概率密度函數(shù)中的應(yīng)用與實(shí)例介紹

　　摘要：該文類比離散型隨機(jī)變量求分布函數(shù)的方法，應(yīng)用微分法簡(jiǎn)化求解一維、二維連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，并應(yīng)用于相應(yīng)的實(shí)例。

　　關(guān)鍵詞：微分法;連續(xù)性隨機(jī)變量;概率密度函數(shù)

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　　1 概述

　　微分法在概率統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)變量函數(shù)的分布中有廣泛的應(yīng)用。若隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，已知X的分布，如何求Y的分布。對(duì)于離散型隨機(jī)變量方法簡(jiǎn)單。但若X，Y是連續(xù)性隨機(jī)變量，常規(guī)方法是“分布函數(shù)法”，即先由X，Y的函數(shù)關(guān)系用隨機(jī)變量Y的函數(shù)來表示X，再由X的分布函數(shù)推導(dǎo)出Y的分布，進(jìn)而得到Y(jié)的概率密度函數(shù)。由此可見“分布函數(shù)法”要經(jīng)歷先積分再求導(dǎo)的系列復(fù)雜過程，但如果借鑒離散型隨機(jī)變量解決方案，借助微分法這種繁雜瑣碎的計(jì)算麻煩便可迎刃而解。朱慧敏[1]探討了利用Newton微元法求連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的一些方法;文獻(xiàn)[2]給出了求連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)的一般方法。為更好彌補(bǔ)以上方法的不足，本文從微分法的基本思想人手，給出連續(xù)性隨機(jī)變量或向量函數(shù)的概率密度的簡(jiǎn)易方法，從而使得計(jì)算更簡(jiǎn)便實(shí)用，并給出相應(yīng)的實(shí)例。

　　2 微分法在一維隨機(jī)變量函數(shù)中的應(yīng)用及實(shí)例

　　2.1 引例：離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：

　　求Y=x2的分布。

　　解：Y的取值分別為0，1，4，9。

　　P(Y=0)=P(X2=0)=P(X=0)=0.3

　　P(Y=1)=P(X2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.3.。P(Y=4)=P(X2=4)P(X=-2)+P(X=2)=0.3.P(Y=9)=P(X2=9)=P(X=3)=0.1

　　故隨機(jī)變量Y分布為：

　　求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)，常規(guī)方法是先求分布函數(shù)，進(jìn)而通過求導(dǎo)數(shù)得解。我們欲用完全類似離散型隨機(jī)變量函數(shù)求分布的簡(jiǎn)單方法來解決連續(xù)型隨機(jī)變量的分布問題，也就是微分法。

　　2.2 微分法

　　定理1.1若D為開集，使得P(x∈D)=1且對(duì)Vx∈D，P(X=x)=g(x)dx，則g(x)，x∈D為X的密度，記為X～g(x)。

　　分析：設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，F(xiàn)(x)在x處連續(xù)可微，則

　　證明因?yàn)镻(x∈D)=1，所以對(duì)于x∈D°，則P(X=x)=0。故F(x)在D內(nèi)連續(xù)。

　　又因?yàn)閂x∈D，P(X=x)=g(x)dx，且F(x)=D內(nèi)連續(xù)。所以F(x)在R上連續(xù)且除去最多可列個(gè)點(diǎn)外連續(xù)可微。

　　于是f(x)=(F"'(x)，x∈D;為x的概率密度。

　　又P(X=x)=F'(x)dx=g(x)dx，所以g(x)，x∈D為X的密度。

　　如果X的分布函數(shù)為F(x)，F(xiàn)'(x)存在且連續(xù)，x=h(y)連續(xù)可導(dǎo)，P(X=h(y))=f(h(y)).|h'(y)|dy.由此可得以下推論：

　　推論1.1 若X的概率密度為f(x)，Y=g(X)，開集D使得P(Y∈D)=1且對(duì)y∈D，P(Y=y)=P(X=h(y))=f(h(y).|dh(y)|)=f(h(y))-|h'(y)|dy，其中h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，且在D中分段嚴(yán)格單調(diào)可微，則Y～f(h(y)).|h(y)|y∈D.

　　例2.1 設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，82)，試證Y=一、M～N(0，1)。δ

　　證明對(duì)y∈D=(-∞，+∞)，且滿足推論1的條件，

　　故Y～N(0，1)。

　　在研究物理、化學(xué)的變化造成的斷裂或失效時(shí)的固件壽命，如絕緣體構(gòu)成的固體的壽命，常用對(duì)數(shù)正態(tài)分布。下面介：紹一個(gè)它的實(shí)例。

　　例2.2 如果X～N(μ，82)，則稱Y=eX的分布是參數(shù)為(μ，82)的對(duì)數(shù)分布，試求Y的概率密度。

　　Weibull分布是一種最常用的分布，一般金屬構(gòu)造的儀器.或設(shè)備都是使用壽命都服從Weibull分布。實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明，許多電子元件及機(jī)器設(shè)備的使用壽命都服從Weibull分布，凡是局部固件的失效或故障引起全局工作停止運(yùn)行的設(shè)備的壽命近似服從Weibull分布。其分布源于指數(shù)分布，服從指數(shù)分布具有無記憶性。由它變形而來。在產(chǎn)品的可靠性研究中，它基本是服從Weibull分布，兩個(gè)參數(shù)。對(duì)于數(shù)學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家而言參數(shù)越少越好，但是工程師則喜歡參數(shù)越多越好，這樣便于調(diào)試。下面也舉一個(gè)實(shí)例。

　　例2.3 如果X～E(1)，則Y=服從參數(shù)為(a，b)的Weibull分布，其中a，b為正常數(shù)。

　　解P(Y》0)=1又X的密度函數(shù)為fx(x)=e”*，x》0，于是對(duì)任何y》0，由

　　由推論1.1知，Y的概率密度fy(y)=e～ay' abay'，b-1，y》 0.

　　把定理1再推廣一下，得到以下推論：

　　推論1.2 設(shè)X的密度函數(shù)為f(x)，Y=g(X)的反函數(shù)為X=h(Y)，開集D使得P(Y∈D)=1，如果h;(y)在D上分段嚴(yán)格單調(diào)

　　注1 我們稱上述方法為概率密度的微分法。

　　注2 當(dāng)組僅當(dāng)集合A=B時(shí)，P(A)=P(B).

　　注3 當(dāng)且僅當(dāng)A;(i=1，2，.，n)互不相容時(shí)，P(U A;)=

　　例2.5 設(shè)X～U(-a，a)a》0，求Y=元的分布。

　　例2.6 設(shè)X～E(入)，求Y=X，X》 1，-x2，X《 1 的分布。

　　3 微分法在二維隨機(jī)向量函數(shù)中的應(yīng)用

　　一維連續(xù)性隨機(jī)變量X有密度函數(shù)f(x)，當(dāng)f(x)在x處連續(xù)時(shí)，則P(X=x)=g(x)dx，推測(cè)二維隨機(jī)變量(X，Y)有聯(lián)合密度f(x，y)，當(dāng)f(x，y)在(x，y)連續(xù)，則P(X=x，Y=y)=f(x，y)dxdy.

　　定理3.1如果開集D使得P(x，y)∈D)=1，g(x，y)在D內(nèi)連續(xù)，且P(X=x，Y=y)=f(x，y)dxdy，(x，y)∈D，則(X，Y)有密度函數(shù)f(x，y)，(x，y)∈D，記為(X，Y)～g(x，y)。

　　由微積分知識(shí)知道，若x=x(u，0)y=y(u，v)在開集D內(nèi)連

　　例3.2 設(shè)(X，Y)～f(x，y)，若U=2X-Y，V=2X +3Y，求(U，V)的聯(lián)合密度。

　　解：對(duì)于任何(u，0)，有

　　定理3.2 若

　　例3.3 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

　　例3.5 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

　　4 結(jié)束語

　　綜上所述，運(yùn)用微分法求解一維或二維隨機(jī)變量的函數(shù)概率密度函數(shù)是一種更為簡(jiǎn)單有效的計(jì)算方法。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]朱慧敏.運(yùn)用Newton微元法求解概率密度函數(shù)[J].復(fù)旦學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，50(1)：65-70.，

　　[2]盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2010.

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